3.6. Следящая система с заданным характеристическим уравнением

Достаточно часто возникает необходимость построить следящую систему, используя корректирующие обратные связи по переменным состояния. В принципе существуют модификации метода ЛЧХ, предназначенные для решения такой задачи, однако они не совсем удобны даже применительно к непрерывным системам, а при расчете дискретных систем могут возникнуть непреодолимые трудности. Кроме того, метод компенсационных регуляторов не применим к неустойчивым объектам, поэтому следящие системы необходимо строить иным способом.

Рассмотрим обычное уравнение объекта:

;

 – уравнение выхода, причем выход и вход далее будем считать скалярным.

Пусть , .

Требуется перевести объект в точку , т.е. по сути, отследить заданный постоянный входной сигнал. Можно считать, что  – задающее воздействие.

Потребуем, кроме того, чтобы управление было сформировано так, чтобы система имела заданное характеристическое уравнение .

Поскольку в конце переходного процесса y постоянно, то и все координаты объекта тоже должны быть постоянны. Обозначим их вектор , и найдем его из уравнения установившегося режима. Очевидно, что по окончании переходного процесса и . Тогда:

Это система линейных алгебраических уравнений для определения переменных и :

Решая её, найдем и , и введем смещенные переменные:

; ;

; .

Подстановка в уравнения объекта дает

.

Вычитая уравнение статики , получаем .

Это так называемое смещенное уравнение. Начальные условия для него . Для того, чтобы цель управления была достигнута, необходимо чтобы координаты стремились к , а следовательно координаты смещенного объекта должны стремиться к нулю. Смещенный объект должен из ненулевого исходного состояния перейти в нулевое, т.е. для него должна быть решена задача стабилизации. Таким образом задача свелась к предыдущей (п), и управление можно найти известными методами, например по формуле Аккермана для смещенной системы:

.

Поскольку реальная исходная система не смещена, то после определения надо вернуться к :

 – это управление переводит объект в заданную точку, заставляя его отследить .

Пример 1.

Уравнение объекта . Структурную схему можно представить в виде (см. рис. 3.10).

Передаточная функция  – дискретный аналог интегрирующего звена. Уравнения статики:

; ;

Составляя смещенное уравнение и применяя формулу Аккермана, найдем:

; .

Поскольку ; , то .

Структура полученной следящей системы показана на рис. 3.11.

По постановке задачи система астатическая, у нее нет ошибки при постоянном сигнале.

Пример 2.

Система второго порядка:

Очевидный переход к операторным уравнениям и структурной схеме объекта:

Потребуем .

Из уравнений статики получим: , , . Выполняя те же действия, что выше, найдем:

; , а ;

.

Структура показана на рис. 3.12.

Пример 3.

 – уравнение статики.

; .

Решаем и определяем и :

.

При размыкании скорректированной системы мы не получим интегратора в цепи, следовательно получаем статическую систему, у которой при постоянном имеем постоянную ошибку. Поскольку по постановке задачи система должна иметь нулевую ошибку при постоянном входе, управление включает дополнительный параллельный канал, который компенсирует статическую ошибку. Структура системы показана на рис.3.13.