3.1. Повторный синтез. (Цифровое перепроектирование)
Рассмотрим сначала основные положения подхода, связанного с цифровым перепроектированием.
Цифровое перепроектирование – это получение цифрового регулятора для системы цифрового управления с характеристиками, близкими к характеристикам системы непрерывного управления с аналоговым регулятором, полученным в результате синтеза системы непрерывного управления.
Актуальность цифрового перепроектирования очевидна по следующим трем основным причинам:
В случаях существования эффективно работающей системы управления с аналоговым, например, ПИД-регулятором, когда требуется создать соответствующий цифровой регулятор.
Период дискретизации существенно различается в зависимости от показателей используемого компьютера, процессора и необходимого объема вычислений. В этой связи обычны случаи, когда невозможно либо нежелательно заранее конкретизировать период квантования. В таких случаях, например при управлении роботами, сначала проектируется аналоговый регулятор по непрерывной модели, а затем, сокращая по возможности период квантования, осуществляется переход от аналогового регулятора к цифровому.
Методология разработки цифровых систем создавалась сравнительно за короткое время по сравнению с непрерывными САУ. Поэтому зачастую приходится действовать методом, согласно которому в процессе синтеза многократно варьируется период квантования, что увеличивает временные затраты. Метод цифрового перепроектирования позволяет значительно сократить эти затраты.
Способы перепроектирования цифровых регуляторов по непрерывному аналогу можно разделить на две группы:
Базирующиеся на характеристиках системы управления, заданных передаточными функциями либо частотными характеристиками.
Основанные на характеристиках переходного процесса системы с контуром управления замкнутым по переменным состояния.
Перепроектирование по передаточным функциям системы.
Известно несколько классических способов перепроектирования по передаточным функциям.
Практически для всех этих способов общими являются следующие характерные особенности. Рассматриваются системы с простой обратной связью, как показано на рис. 3.1 и рис. 3.2.
Задачей
является получение цифрового регулятора
путем соответствующего преобразования
приемлемого аналогового регулятора
,
синтезированного для непрерывной
системы.
В основу такого подхода к цифровому перепроектированию положены способы преобразования, базирующиеся на использовании:
Уравнений импульсной инвариантности:
. (3.1)
Уравнений в конечных разностях:
. (3.2)
Билинейного преобразования:
. (3.3)
Согласующего Z-преобразования:
, (3.4)
где
–
полюса
,
–
определяет совпадение статического
коэффициента передачи
и
,
т.е.
.
Уравнение
импульсной инвариантности (3.1) является
формализованным выражением
как реакции
на импульсное воздействие
.
Уравнение в конечных разностях (3.2) относится к способу линейной аппроксимации первого порядка, представляющей производную в виде конечной разности:
. (3.5)
Преобразование Лапласа левой части этого выражения и Z‑преобразование правой части дают зависимость
. (3.6)
Билинейное
преобразование (3.3) может быть получено
из разложения в ряд
,
откуда
(аппроксимация Тустена).
При
согласующем Z-преобразовании
разлагается на множители и затем ее
полюса (
)
преобразуются в
.
Способы, базирующиеся на представлениях 1–4 хорошо известны. Однако при этом требуется обращать особое внимание на устойчивость замкнутой системы даже при гарантии устойчивости регулятора.
Как указывают литературные источники, утверждается, что лучшие результаты дает способ билинейного преобразования.