1.2. Математическое описание импульсного элемента

Компьютеры работают с последовательностью чисел, а не с непрерывными функциями времени. Поэтому, чтобы соединить аналоговый объект с компьютером, нужно квантовать выходной сигнал объекта. Из-за осуществления квантования всегда имеется потеря информации. Однако степень этой потери зависит от метода квантования и связанных с этим параметров. Проиллюстрируем сказанное.

Рассмотрим схему квантователя (импульсного элемента, амплитудно-импульсного модулятора) с конечным временем выборки и с периодом (см. рис. 1.6).

Типичные формы сигналов квантователя с постоянным периодом приведены на рис. 1.7.

При анализе работы квантователя с конечной шириной импульсов выходной сигнал может быть представлен в виде:

или:

.

Принято идеализировать импульсный элемент и принимать, что ключ замыкается на бесконечно малый промежуток времени, а выход импульсного элемента представлять в виде последовательности δ‑функций.

Напомним, что δ‑функция это обобщенная импульсная функция, имеющая площадь равную единице и исчезающе малую (условно нулевую) длительность. Площадь δ‑функции будем условно называть её амплитудой. Тогда  – это функция «проявляющаяся» в момент времени . Основное свойство δ‑функции, соответствующее её определению:

;

если момент времени τ попадает в интервал (a,b)

Нам понадобится следующее так называемое селектирующее свойство δ‑функции:

.

Изображенная последовательность δ‑функций (см. рис. 1.8), следующих с интервалом , полученная как результат прохождения непрерывной функции через идеальный импульсный элемент, называется решетчатой функцией.

В отличие от непрерывных функций решетчатые помечаются верхним индексом «*», либо при отсутствии такого индекса в качестве аргумента используют дискретное время «k» – номер момента замыкания ключа. Примеры записи приведены ниже:

Эмпирическое правило требует, чтобы частота квантования была бы в 5–10 раз больше полосы пропускания системы. Если это правило нарушено, наблюдаемые квантованные величины могут очень плохо отражать исходный непрерывный сигнал.

Рассмотрим, например, сигнал . Если выберем интервал квантования , то

;

откуда очевидно, что высокочастотная компонента преобразуется в константу.

В общем случае можно показать, что в зависимости от периода квантования высокочастотная составляющая спектра квантуемого сигнала переходит в низкочастотную область и становится низкочастотным возмущающим воздействием в рабочем частотном диапазоне системы управления. Даже когда выполняется упомянутое эмпирическое правило, чтобы защитить процесс квантования от засоряющих сигналов высокой частоты, обычно до дискретного элемента помещается сглаживающий аналоговый фильтр.

В инженерной практике выбор интервала квантования при дискретизации непрерывных моделей осуществляется на основании компромисса между стремлением уменьшить частоту обращения к управляющей ЭВМ (т.е. снизить требования к ее быстродействию) и требованиями к качеству синтезируемой системы.