3.7. Регуляторы состояния при неполных измерениях. Наблюдатели состояния

Организация обратной связи по состоянию системы в соответствии с выражением (3.30) требует полных данных о текущем состоянии объекта управления, хотя измерение некоторых переменных в принципе невозможно. Кроме того, с этим связана потребность в большом числе датчиков. Следовательно, наибольший практический интерес представляет широко распространённый случай, когда измерению доступна только часть вектора состояния объекта управления, а также выходная координата . При таком подходе широкое распространение получили способы, основанные на использовании оценки вектора , вводимой взамен вектора .

Уравнения объекта:

.

Будем полагать, что координаты измерению недоступны, а измерим только выход .

Для простоты будем считать выход и вход скалярными. Логично для определения координат объекта использовать его модель, которую можно построить, поскольку все параметры объекта известны. Такую модель называют наблюдателем, а её координаты – оценками координат объекта. Однако оценки будут отличаться от координат объекта поскольку невозможно обеспечить совпадение начальных значений координат наблюдателя и объекта, так как координаты измерению недоступны. Для улучшения оценок можно использовать доступную измерению информацию о невязке  – разнице выходов объекта и наблюдателя. Такая схема, называемая наблюдателем полного порядка, показана на рис. 3.14.

Изменяемый вектор коэффициентов нужно выбрать таким образом, чтобы оценки как можно меньше отличались от истинных координат объекта.

Запишем уравнение наблюдателя:

,

введем ошибку наблюдения и ошибку измерения .

Вычтем из уравнения наблюдателя уравнение объекта:

 – уравнение для ошибки наблюдения.

Это уравнение однородное, решение этого уравнения определяется начальными условиям, представляющими собой разность начальных условий объекта и наблюдателя.

Целью является сведение ошибки наблюдения к нулю ( ), следовательно уравнение для ошибки должно соответствовать устойчивой системе. Характеристическое уравнение этой системы . Можно, например, потребовать, чтобы это уравнение равнялось некоторому заданному. Прямое использование для определения формулы Аккермана здесь невозможно так как произведения матриц не коммутативно.

Из теории матриц известно, что для любой квадратной матрицы . Тогда характеристическое уравнение наблюдателя можно записать в виде , и для его решения использовать формулу Аккермана: .

Здесь  – матрица наблюдаемости системы, которая должна быть обратима, и, следовательно, наблюдатель можно построить только для полностью наблюдаемого объекта.

Выясним, какова динамика системы, в которой обратные связи вводятся не по координатам, а по оценкам координат. Структура такой системы показана на рис. 3.15.

Считается, что вектор коэффициентов обратных связей выбран так же, как в п. 2.5, но . Система, описывающая регулятор состояния с наблюдателем имеет вид:

Сделаем замену переменных: , .

Тогда:

После сокращения подчеркнутых слагаемых получим:

Введём новый вектор .

Тогда: , где  – клеточная матрица .

Характеристическое уравнение этой полной системы:

.

Видно, что первый сомножитель – характеристический полином регулятора состояния без наблюдателя, а второй – характеристический полином наблюдателя.

Вывод (теорема разделения): полный набор полюсов регулятора состояния с наблюдателем состоит из полюсов наблюдателя и полюсов регулятора состояния при полном измерении. Т.о. полюса регулятора состояния и полюса наблюдателя могут быть выбраны раздельно и независимо.