Определение алгоритма управления:
.
Нужен
добавочный коэффициент усиления, чтобы
ЛАХ объекта везде лежала не ниже, чем
ЖЛАХ. Из построений видно, что
;
.
Дальнейшие шаги тривиальны и не приводятся.
3.4. Расчет апериодических регуляторов (регуляторы с конечным временем установления)
Как и в предыдущем разделе рассматривается следящая система (см. рис. 3.5) с заданным объектом, но принципы формирования желаемой передаточной функции и требования к системе будут иными.
Предполагается,
что на вход подается постоянное
скачкообразное воздействие:
.
Поскольку система линейная, без потери
общности можно принять
,
тогда
.
Потребуем,
чтобы переходный процесс закончился
за
тактов,
–
порядок передаточной функции объекта.
Период квантования
(длительность такта) считается заранее
известным, а передаточная функция
объекта
–
заданной.
Пусть
.
Положим
,
т.е. порядок числителя строго меньше
порядка знаменателя. С точки зрения
физики это предположение означает, что
объект не мгновенно реагирует на
управляющее воздействие. Оно выполняется
для подавляющего большинства объектов.
Z-изображение
входного сигнала
.
В соответствии с принятыми требованиями выходной сигнал и его Z‑изображение должны иметь вид:
пока
неизвестны, а
,
так как объект не мгновенно реагирует
на управление.
Передаточная
функция замкнутой системы
–
конечна, так как может быть получена
умножением изображения
на бином
:
Последние слагаемые попарно уничтожаются. Эта передаточная функция обеспечивает требование окончания переходного процесса за тактов, и, следовательно, является желаемой для поставленной задачи.
Легко
видеть, что
;
;
и
.
Сделаем то же самое, но для управляющего сигнала :
Выполнив те же операции, что выше, найдем передаточную функцию от входа до управления:
.
Теперь, учитывая что:
; 
,
можно получить:
.
Неизвестные
значения
и
определяются из следующих соображений:
. (3.20)
Сравнивая числители и знаменатели дробей, находим:
; 
; 
; 
;
и т.д.
Все
коэффициенты определены с точностью
коэффициента
,
который находится следующим образом.
Числители дробей в (3.20) должны быть
равны:
Положим
,
тогда
.
; 
; 
; 
;
и т. д.
Передаточная
функция замкнутой системы, записанная
по положительным степеням
,
имеет вид:
.
–
характеристическое
уравнение. Все его корни нулевые, лежат
внутри единичной окружности, на самом
далеком расстоянии от границы устойчивости.
Отсюда происходит название «апериодический
регулятор».
Пример.
Задан
объект
,
;
,
,
.
Можно
найти
или
.
По приведенным формулам:
; 
; 
;
; 
и
.
– это апериодический регулятор.
Передаточная функция разомкнутой системы:
.
Полюса объекта компенсируются (сокращаются и заменяются другими, следовательно, регулятор является компенсационным).
;
.
Получим переходную функцию (реакцию системы на единичный скачок):
; 
;
.
Чтобы получить реакцию необходимо выполнить обратное Z‑преобразование. Преобразуем в ряд Лорана, поделив числитель на знаменатель. Переходный процесс показан на рис. 3.8.
