3.8. Наблюдатели неполного порядка
В часто встречающемся случае, когда выходная переменная совпадает с одной из переменных состояния, порядок наблюдателя можно понизить. Представим уравнения объекта в виде
. (3.21)
Допустим, что можно измерить только одну (условно первую) из переменных состояния, т.е.:
. (3.22)
В
(3.21)
–
скаляр;
–
–
вектор-строка
–
–
вектор‑столбец;
–
–
матрица;
–
скаляр;
–
–
вектор‑столбец.
Покажем
для такого случая возможность использования
наблюдателя
-го
порядка.
Представим
в виде
и попытаемся дать оценку только
-мерного
вектора
.
Согласно (3.21) поведение
можно оценить из уравнения:
. (3.23)
Использование
модели (3.23) затруднительно из-за отсутствия
прямой взаимосвязи между
и
.
Поэтому вместо
рассмотрим переменную
,
определенную как
,
где
является пока неизвестным постоянным
-мерным
вектором‑столбцом. Тогда, если оценка
в принципе возможна, то можно вычислить
.
Поскольку
из (3.21)
,
переменная
определяется уравнением:
. (3.24)
где
; 
; 
. (3.25)
Пусть
оценка
вектора
имеет вид (3.24):
.
Погрешность
оценки
,
исходя из выражений (3.24), (3.25), можно найти
из уравнения:
. (3.26)
При
этом если все собственные числа матрицы
задавать в пределах единичной окружности,
то
.
При условии наблюдаемости пары
возможно размещение собственных чисел
матрицы
произвольно заданным образом за счет
выбора вектора
.
Далее с учётом зависимости:
; (
–
единичная матрица) (3.27)
выражая вектор в виде:
, (3.28)
где
;
, (3.29)
окончательно приходим к возможности получения оценки состояния из уравнений
(3.30)
Система
(3.30) называется наблюдателем
‑Го
порядка.
Подобный
подход может быть распространён и на
случай нескольких измеряемых выходных
переменных
,
для которых возможно построение
редуцированного наблюдателя порядка
при выполнении условий наблюдаемости
пары
.
3.9. Цифровое управление с учетом запаздывания
Результатом
синтеза является алгоритм управления.
Для компенсационного регулятора он в
общем случае представим в виде
,
а для регулятора состояния в виде
.
До сих пор по умолчанию предполагалось, что вычисление управления в ЭВМ происходит мгновенно. В действительности контроллеру необходимо определенное время для выполнения операций умножения и сложения, заложенных в алгоритме. Длительность выполнения алгоритма формирует величину такта обмена .
Таким образом, фактически всегда управление запаздывает на один такт по сравнению с измерениями. Это запаздывание необходимо учитывать.
Для
компенсационных регуляторов, которые
рассчитываются с использованием аппарата
передаточных функций, учет запаздывания
несложен. Поскольку запаздыванию на
один такт соответствует домножение на
,
расчетная структурная схема принимает
вид рис. 3.16.
Теперь
для определения передаточной функции
регулятора
вместо реальной передаточной функции
объекта
следует использовать эквивалентную
функцию
,
учитывающую запаздывание. При применении
частотных методов соответствующая
эквивалентная частотная передаточная
функция объекта принимает вид:
.
Стандартное описание системы с регулятором состояния имеет вид
В
действительности для формирования
управления используются не текущие k-е
значения координат, а предыдущие
-е
значения. Запишем систему уравнений
для предыдущих значений:
Сдвинув эту систему на такт вперед, получим:
(3.31)
Уравнения (3.31) описывают регулятор состояния с запаздывающим управлением. Структура такой системы (структура регулятора с запаздыванием по управлению) имеет вид, показанный на рис. 3.17.
Можно
сделать преобразование координат и
доказать что характеристическое
уравнение такой системы имеет вид:
,
где
–
характеристическое уравнение для
регулятора без запаздывания.
Таким образом, если управление запаздывает на такт, то полюса системы будут точно такими же, как при управлении без запаздывания и появится еще один дополнительный нулевой полюс.