Пример 1.

Найти область допустимых значений коэффициентов для обеспечения асимптотической устойчивости системы с характеристическим уравнением:

.

;

;

.

Таким образом, имеем систему неравенств:

1. Для левого крайнего коэффициента четвертой строки:

.

2. Для левого крайнего коэффициента шестой строки:

.

Решение этих неравенств приводит к следующим соотношениям:

;

;

что позволяет получить ограничения на выбор допустимых значений , (см. рис. 2.1).

Для сравнения отметим, что система с характеристическим уравнением устойчива при .

Оценка устойчивости дискретных систем с помощью критерия Рауса - Гурвица основана на использовании билинейного преобразования плоскости в плоскость путём подстановки (1.17) , откуда , которая уже использовалась при построении частотных характеристик. При этом достигается взаимно однозначное соответствие между областью действительных чисел для и областью значений для .

Представляя полином и применяя к нему критерий Рауса-Гурвица, получаем условия устойчивости дискретных систем.

Решение

.

При имеем:

,

откуда ;

Отметим, что подстановка (1.17) с последующим переходом к частотным характеристикам позволяет применять критерий устойчивости Найквиста

Пример 2.

Рассмотрим простейшую следящую систему (см. рис. 2.2), содержащую пару ВТ в трансформаторном режиме в качестве датчика рассогласования, усилитель и исполнительный двигатель постоянного тока.

Математическое описание, до предела упрощенное за счет пренебрежения инерцией объекта и электромагнитными процессами в якоре, может быть представлено структурной схемой (см. рис. 2.3).

Система непрерывна. Передаточная функция замкнутой системы , характеристическое уравнение или , его корень , следовательно при любом положительном система устойчива.

Сделаем из этой системы цифровую, введя цепочку АЦПЦВМЦАП. Положим при этом коэффициент передачи ЦВМ равным 1. Расчетная схема примет вид как на рис. 2.4.

По известной формуле:

; где ; по табл. 2 .

Окончательно:

.

Передаточная функция замкнутой системы:

.

Характеристическое уравнение или , его единственный корень . Условие устойчивости , отсюда ; и .

Обратим внимание на то, что в отличие от непрерывной системы, цифровая система устойчива не при любых положительных , а только при . Это объясняется потерей информации при квантовании сигнала по времени.

Рассчитаем переходный процесс:

; ;

; ; .

1 случай:

После подстановки и разложения в ряд Лорана получаем:

2 случай:

После подстановки и разложения в ряд Лорана получаем:

Графики переходных процессов показаны на рис. 2.5.

2.3. Динамические показатели качества цифровых систем управления и их взаимосвязь с характеристиками непрерывных систем

Динамические показатели качества дискретных систем определяются аналогично показателям систем непрерывного времени. Поскольку в основе дискретных моделей обычно лежат непрерывные процессы, целесообразно установить соотношения между динамическими показателями дискретных и непрерывных систем. Такие соотношения получаются на основе конформных отображений комплексных переменных.

Будем рассматривать дискретную систему вида (2.7), (2.8), полученную в результате дискретизации автономной непрерывной динамической системы, описываемой уравнениями состояния и выхода:

Характеристический многочлен асимптотически устойчивой непрерывной системы имеет полюсы: , , где .

Корни характеристических многочленов (полюсов) дискретной и непрерывной систем связаны выражением:

, . (2.13)

В силу последнего выполняются следующие соотношения:

; (2.14)

, ; (2.15)

; (2.16)

. (2.17)

Для выбора интервала квантования при переходе к дискретной форме описания на основе теоремы прерывания используется условие

, (2.18)

где ,  – максимальная частота колебательных составляющих переходных процессов непрерывной системы.

Поэтому в дальнейшем будем полагать, что для полюсов непрерывной системы выполняется

. (2.19)

Условие (2.19) отвечает, с одной стороны, требованиям теоремы прерывания, а с другой, в силу (2.17), вводит ограничение на аргументы полюсов дискретной системы.

Полюсы дискретной системы удовлетворяют условию

, ; (2.20)

когда полюсы непрерывной системы подчиняются условию (2.19) комлекснозначная функция

; (2.21)

определяет конформное отображение комплексных чисел и ставит в соответствие значениям полюсов непрерывной системы полюсы эквивалентной дискретной системы. При этом неравенства (2.19), (2.20) устанавливают области комплексной плоскости, в которых отображение (2.13) взаимно – однозначно. Это и служит формальным обоснованием возможности проведения анализа динамических показателей дискретных систем на основе известных свойств систем непрерывного времени.

Отметим основные свойства функции (2.21) (см. рис. 2.6):

1. Кусок левой полуплоскости, ограниченной прямыми , , т.е. область отображается в область т.е. в круг единичного радиуса, из которого исключена левая вещественная полуось.

2. Отрезок мнимой оси, ограниченной точками т.е. отображается в кривую , т.е. в окружность единичного радиуса, из которой исключена точка .

3. Точка отображается в точку .

4. Бесконечно удалённая точка левой вещественной полуоси отображается в центр круга , т.е. в точку .

5. Граничные точки отрезка отображаются в точку .

Перечисленные свойства сразу же позволяют сделать вывод об асимптотической устойчивости дискретной системы, полюсы которой лежат внутри единичной окружности.

Рассмотрим оценку быстродействия. Значения модуля полюсов системы уменьшаются с увеличением модулей вещественных частей полюсов непрерывной системы , что равносильно увеличению быстродействия. Более того, в случае, когда дискретная система имеет только нулевые полюсы её переходный процесс заканчивается не более чем за шагов и, следовательно время переходного процесса определяется выражением

. (2.22)

Отмеченное обстоятельство служит основанием для введения (по аналогии с понятием степени устойчивости непрерывных систем) понятия степени устойчивости дискретной системы как радиуса распределения её полюсов на комплексной плоскости.

Степенью устойчивости дискретной системы называется положительное число

. (2.23)

Учитывая, что скорость протекания процессов возрастает при приближении полюсов к началу координат можно заключить, что степень устойчивости действительно характеризует быстродействие дискретной системы, а при имеет место оценка (2.22).

Для установления связи степени устойчивости со временем переходного процесса воспользуемся свойствами отображения (2.21) и т.е.  – степень устойчивости такой системы.

Грубая оценка времени переходного процесса даётся выражением .

Свойства конформного отображения при и изображены на рис. 2.7:

Учитывая, что , откуда найдём грубую оценку времени переходных процессов в цифровой системе:

. (2.24)

Оценка колебательности. Колебательность непрерывных систем, как известно, связана с наличием комплексно-сопряжённых полюсов. Для устойчивой системы с вещественными полюсами все составляющие переходного процесса имеют апериодический характер. При преобразовании левая вещественная полуось проецируется в единичный отрезок правой вещественной полуоси: .

Следовательно, условием получения устойчивых апериодических процессов дискретной системы будет , . Для других значений полюсов из внутренности единичного круга переходные процессы носят колебательный характер. Показатель, степень колебательности (или просто колебательность) связан с размером сектора , в котором расположены все полюсы системы по формуле:

;

где , . (2.25)

Рассмотрим асимптотически устойчивую непрерывную систему, полюсы которой удовлетворяют условиям и , т.е. расположены в секторе , (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7. Свойства отображения и оценка колебательности

0

1

0

В силу свойства сохранения углов область расположения полюсов дискретной системы лежит в пределах сектора размера . Рассмотрим лучи и сектора . Их описание даётся выражением , , или в параметрической форме , .

Подставляя последнее выражение в , получаем параметрическое описание кривых , на комплексной плоскости дискретной системы

.

Найденные кривые и ограничивают область , в которой расположены полюсы дискретной системы, соответствующие заданной колебательности .

Если учесть, что полюсы непрерывной системы удовлетворяют условию , то параметр .

Таким образом, полюсы дискретной передаточной функции удовлетворяют условиям , , , если полюсы системы удовлетворяют условиям , .