- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители …
- •Глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
- •§2. Декартовы координаты. Полярные координаты
- •§3. Векторы, линейные операции над ними
- •§4. Проекция вектора на ось
- •§5. Разложение вектора по базисным векторам
- •§6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями
- •§7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
- •§8. Направляющие косинусы вектора
- •§9. Скалярное произведение векторов, угол между
- •§10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
- •§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
- •Глава 2. Элементы аналитической геометрии
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •§2. Плоскость, общее уравнение плоскости
- •§3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •§4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •§5. Прямая в пространстве и ее уравнения
- •§6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •§7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности
- •§8. Уравнение линии на плоскости
- •§9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми
- •§10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- •§11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •§12. Кривые второго порядка. Окружность
- •§13. Эллипс
- •§14. Гипербола
- •§15. Парабола
- •§16. Преобразование координат на плоскости
- •§17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве
- •§18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
- •§19. Эллипсоид
- •§21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды
- •§22. Эллиптический и гиперболический параболоиды
- •Глава 3. Элементы линейной алгебры
- •§1. Определители высших порядков
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный метод решения
- •§5. Формулы Крамера
- •§6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
- •§7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •§8. Однородные системы
§4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Пусть в пространстве Oxyz плоскость задана уравнением
,. (10)
где A, B, C, D – известные числа. Дана точка , ее координаты – заданные числа. Нужно найти d – расстояние от точки до плоскости с уравнением (10). Нормальный вектор этой плоскости равен
Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из точки на заданную плоскость (рис. 18). Ясно, что длина вектора равна искомому расстоянию d. Ясно также, что вектор коллинеарен . Проекции вектора на оси координат равны разностям координат конца и начала:
Скалярное произведение этого вектора и вектора определим по формуле (17) главы 1:
. (11)
С другой стороны, скалярное произведение в левой части (11) равно
. (12)
Здесь берётся, когда угол , и , когда этот угол равен Выражение (12) подставим в левую часть формулы (11), а в правой части раскроем скобки. Получим
. (13)
Точка лежит на плоскости с уравнением (10), поэтому её координаты удовлетворяют (10), т. е. имеет место соотношение . Значит, Теперь формулу (13) можно записать так: . Найдем теперь , учитывая, что :
. (14)
Из формулы (14) видно, что для нахождения расстояния от точки до плоскости с уравнением (10) нужно в левую часть уравнения (10) вместо поставить координаты заданной точки , а затем найденное число поделить на . Полученное число будет равно , если оно положительное, и если это число отрицательное. Тем самым найдём искомое расстояние .
§5. Прямая в пространстве и ее уравнения
Общие уравнения прямой в пространстве. Пусть в пространстве Oxyz две плоскости заданы уравнениями
(15)
где – известные числа. Пусть эти плоскости не параллельны (не выполняется условие параллельности плоскостей), тогда они пересекаются по прямой. Уравнения в системе (15) являются уравнениями этой прямой. Их называют общими уравнениями прямой в пространстве.
Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Пусть в системе Oxyz прямая определена следующим образом:
-
заданы координаты точки , лежащей на прямой;
-
заданы проекции ненулевого вектора , параллельного прямой ( называется направляющим вектором прямой).
Пусть – произвольная точка рассматриваемой прямой и , – радиусы-векторы точек , . Из рис. 19 видно, что
. (16)
Так как вектор коллинеарен , то ясно, что можно получить умножением на некоторый скалярный множитель . Тогда
. (17)
Отсюда , вектор направлен, как , при , и в противоположную сторону при . Запишем (16) с учётом (17) в виде
. (18)
Это соотношение называется векторным уравнением рассматриваемой прямой, а скалярная величина – параметром. Каждому значению согласно (18) отвечает вектор , конец которого лежит на прямой. При изменении этот вектор изменяется, его конец – точка – движется по прямой. Мы учли, что , –заданные постоянные векторы, причём проекции вектора на оси координат равны координатам точки , так как есть радиус-вектор этой точки, т. е. в (18) . Поскольку есть радиус-вектор точки его проекции равны координатам точки т. е. .
Как известно, при умножении вектора на число умножаются на это число все проекции вектора на оси координат, поэтому . При сложении векторов их проекции складываются, поэтому , но согласно (18) этот вектор равен , следовательно, равны соответствующие проекции:
(19)
Эти соотношения называют параметрическими уравнениями рассматриваемой прямой. Каждому значению параметра на прямой отвечает определённая точка координаты которой вычисляются по формуле (19). При изменении точка с указанными координатами движется по прямой, и её координаты изменяются согласно (19).