§3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, имеющая строк и столбцов. Она обозначается

.

Числа называются элементами матрицы. Коротко эту матрицу обозначают так: . Здесь – номер строки, – номер столбца элемента . Матрицу иногда обозначают и так:

.

Если столбцы матрицы сделать строками с теми же номерами, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается

.

Если в матрице число строк и число столбцов совпадают, то матрица называется квадратной:

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы. Число называется порядком матрицы. Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы, обозначаемое и равное

.

Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной и обозначается

.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной и обозначается . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцевой, например,

.

Пусть даны две матрицы с одинаковым числом строк и столбцов: Эти матрицы называются равными друг другу (при этом пишут или ), если все их соответствующие элементы равны друг другу, т. е. для всех

Суммой матриц и называется матрица, обозначаемая , элементы которой для всех значений . Это правило можно записать так: . Аналогично вводится понятие разности двух матриц.

Произведением матрицы на число  называется матрица, обозначаемая , элементы которой равны произведениям числа  на соответствующие элементы матрицы , т. е. . Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на число , нужно умножить на это число каждый её элемент (для сравнения заметим, что для умножения определителя на число нужно умножить на это число все элементы какого-либо ряда).

Умножение матриц. Даны матрица , имеющая строк и столбцов, и матрица , имеющая строк и столбцов. Произведением этих матриц называется матрица, обозначаемая ( – первая матрица), элементы которой определяются формулой

, , . (6)

Изобразим схематично эти матрицы и их произведение:

.

В формуле (6) первые индексы означают номера строки элемента матрицы, вторые – номера столбца элемента. Формула (6) показывает, что элемент -й строки и -го столбца матрицы равен сумме произведений элементов -й строки первой матрицы на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы . Следовательно, чтобы получить элементы -й строки матрицы , нужно элементы -й строки умножить на соответствующие элементы первого столбца , и, сложив, найти . Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы второго столбца и сложив, получим и т. д. Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы -го столбца и сложив, получим .

Таким образом, элементы -й строки матрицы С получаются с помощью -й строки первой матрицы . Это относится к любой строке матрицы С. Поэтому ясно, что число строк С равно числу строк , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В, так как номер столбца элемента совпадает с номером столбца матрицы .

Аналогично найдём , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Если это не так, то произведения не существует. Если даже и существуют, то легко проверить на примерах, что, вообще говоря, .

Свойства умножения матриц. Пусть даны три матрицы , и . Тогда:

• ;

• .

Пусть – квадратная матрица, а – единичная матрица того же порядка, что и . Нетрудно проверить, что .

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица

Определитель этой матрицы есть число

.

Пусть этот определитель не равен нулю и – алгебраическое дополнение для элемента .

Обратной к данной матрице называется матрица, обозначаемая и определяемая условиями Если то есть матрица вида

.

Отсюда видно, что для построения обратной матрицы для матрицы нужно:

• элементы матрицы заменить на их алгебраические дополнения;

• все эти дополнения поделить на – определитель матрицы ;

• полученную матрицу транспонировать.

Из приведенного определения видно, что для нахождения нужно вычислить определитель матрицы и все алгебраические дополнения для всех ее элементов.