- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители …
- •Глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
- •§2. Декартовы координаты. Полярные координаты
- •§3. Векторы, линейные операции над ними
- •§4. Проекция вектора на ось
- •§5. Разложение вектора по базисным векторам
- •§6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями
- •§7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
- •§8. Направляющие косинусы вектора
- •§9. Скалярное произведение векторов, угол между
- •§10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
- •§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
- •Глава 2. Элементы аналитической геометрии
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •§2. Плоскость, общее уравнение плоскости
- •§3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •§4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •§5. Прямая в пространстве и ее уравнения
- •§6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •§7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности
- •§8. Уравнение линии на плоскости
- •§9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми
- •§10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- •§11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •§12. Кривые второго порядка. Окружность
- •§13. Эллипс
- •§14. Гипербола
- •§15. Парабола
- •§16. Преобразование координат на плоскости
- •§17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве
- •§18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
- •§19. Эллипсоид
- •§21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды
- •§22. Эллиптический и гиперболический параболоиды
- •Глава 3. Элементы линейной алгебры
- •§1. Определители высших порядков
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный метод решения
- •§5. Формулы Крамера
- •§6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
- •§7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •§8. Однородные системы
§6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными
(20)
Здесь коэффициенты и свободные члены – заданные числа. Будем считать, что число уравнений не больше числа неизвестных (случай требует особого рассмотрения).
Система (20) называется совместной, если она имеет решение, т. е. существуют числа , удовлетворяющие всем уравнениям системы. Система называется несовместной, если она не имеет решения. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если любое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Следующие преобразования, называемые элементарными, переводят заданную систему в равносильную (эквивалентную) ей:
-
перестановка любых двух уравнений системы;
-
умножение любого уравнения системы на ненулевое число;
-
прибавление к обеим частям данного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое ненулевое число.
Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится уравнение вида , то это соотношение отбрасывается, так как ему удовлетворяют любые значения неизвестных (что приводит к уменьшению числа уравнений системы). Если в процессе элементарных преобразований системы (20) появится соотношение , т. е. противоречивое соотношение, которое не может быть выполнено, то система (20) является несовместной.
Метод Гаусса заключается в следующем. Пусть (если , то переставим уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент при первом неизвестном не равнялся нулю или с этой же целью перенумеруем неизвестные, что приведет к перестановке соответствующих столбцов коэффициентов). Из всех уравнений, кроме первого, в системе (20) исключим неизвестную , для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и т. д. Тогда придём к системе вида
Пусть (если , то снова переставим уравнения или перенумеруем неизвестные ). Теперь аналогично предыдущему из всех уравнений, кроме первого и второго, исключим . Если система (20) совместна, т. е. при указанных преобразованиях в ней не окажется противоречивого соотношения , процесс продолжим. В конечном счёте путём вышеуказанных преобразований придём к одному из следующих случаев:
-
к ступенчатой системе
(21)
здесь число уравнений , так как система содержит неизвестные (если не входят в систему (21), то их не будет и в исходной системе (20));
-
к треугольной системе
(22)
В системах (21), (22) по построению все коэффициенты отличны от нуля. В случае системы (20), приведённой к системе (22), далее поступим так: из последнего уравнения (22) найдем ; из предпоследнего найдем , затем , и, наконец, , т. е. найдём все искомые неизвестные.
Итак, в этом случае система (20) имеет единственное решение. Определитель преобразованной системы (22) обозначим . Он равен
0.
В последнем легко убедиться, разложив этот определитель по элементам первого столбца, в котором только один элемент () отличен от 0, и разложив аналогично оставшиеся миноры также по элементам первого столбца. Определитель исходной системы (20), когда , обозначим . Он равен , т. е. может отличаться лишь знаком от . В самом деле, прибавлению к одному из уравнений системы (20) другого уравнения, умноженного на определённое число, отвечает соответствующая операция над строками определителя , которая не изменяет этот определитель. Перестановке уравнений в исходной системе отвечает перестановка строк в определителе системы а перенумерации неизвестных – перестановка столбцов, каждый из которых изменит лишь знак определителя. Как видно из предыдущей формулы, , следовательно, и . Итак, определитель системы (20) при отличен от нуля, если эта система приводится к треугольной системе (22). Таким образом, при система (20), приводящаяся к треугольной системе, имеет единственное решение и ее определитель отличен от нуля.
Пусть система (20) приводится к ступенчатой системе (21). Перенесем в ее правую часть все слагаемые, содержащие неизвестные ,
(23)
В этой системе всем неизвестным придадим произвольные (по нашему выбору) значения. Тогда в правых частях (23) будут известные числа, и из последнего уравнения найдём , из предыдущего – и т. д., найдём . Так как значения выбраны нами произвольно, то система (23), следовательно, и (20), имеет бесконечное множество решений.
Итак, система (20), приводимая к ступенчатой системе, имеет бесконечное множество решений.