§10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника

Даны два вектора и . Построим их, поместив начала в общей точке (см. рис. 12). Векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначаемый ), который обладает свойствами:

• , т. е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на , как на сторонах;

• , , т. е. перпендикулярен к плоскости указанного параллелограмма;

• вектор направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки.

Для векторного произведения применяют и другие обозначения: , .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

Первые два свойства доказываются построением. Докажем справедливость равенства

Вначале отметим, что любой вектор можно представить в виде где вектор коллинеарен а вектор ортогонален (см. рис. 13). Чтобы в этом убедиться, достаточно через начало вектора провести прямую, параллельную через конец вектора провести плоскость, перпендикулярную точка их пересечения служит концом и началом (начало совпадает с началом , конец – с концом ).

Замечая, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна площади параллелограмма, построенного на векторах поскольку они имеют общую сторону , одну и ту же высоту , заключаем, что

А

Рис. 13

налогично для вектора где вектор коллинеарен а вектор ортогонален будем иметь

Покажем, что

или

где суть векторы, лежащие в одной плоскости, так как они перпендикулярны Здесь имеем

поскольку вектор ортогонален и и Кроме того, Заметим, что так как вектор ортогонален а вектор ортогонален Но ортогонален поэтому угол равен углу между векторами и Таким образом, векторы получаются поворотом вокруг соответственно векторов на угол, равный в одном и том же направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ) и умножением их на . Это означает, что Учитывая, что где – вектор, коллинеарный , ортогонален , и принимая во внимание предыдущие соотношения, будем иметь

что и требовалось.

Пусть векторы и заданы своими проекциями: =(,,), . Тогда =++, =++. Сначала рассмотрим векторные произведения базисных векторов.

С помощью определения векторного произведения покажем справедливость равенств

[]=; [,]=; [,]=; [,]=;

[,]=; [,]=; (19)

[,]=0; [,]=0; [,]=0. (20)

Итак, пусть [,]=. Вектор обладает свойствами:

• = 111 = 1;

• , , т. е. перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы и ;

• направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки, т. е. совпадает с , следовательно, [,]=.

Покажем, что [,]=0. Пусть [,]=. Тогда =0, =0, т. е. [,]=0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) – (20). Рассмотрим векторное произведение [,] = [++, ++]. Использовав последние два свойства, запишем

[,]=[,]+[,]+[,]+[,]+

+[,]+[,]+[,]+[,]+[,].

Отсюда с учётом (19) – (20) имеем

[,]=++-.

Итак,

[,]=(-)-(-)+(-). (21)

Следовательно (см. §1),

. (22)

Эту формулу можно записать так:

. (23)

Таким образом, если и заданы своими проекциями, то векторное произведение двух векторов определяется по формуле (23).

Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов выполняется условие то и коллинеарны.

В самом деле, если то и , т. е. или . Следовательно, векторы , коллинеарны.

В этом случае из (21) имеем -=0, -=0, -=0. Значит, Это и есть условие коллине-арности двух векторов, заданных своими проекциями.

Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного своими вершинами.

Пусть , , – вершины треугольника в пространстве , а их координаты – заданные числа. Найдем векторы (см. §7) векторное произведение которых обозначим = Тогда согласно (22)

и Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна найденному числу , поэтому искомая площадь треугольника определяется по формуле .