- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители …
- •Глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков
- •§2. Декартовы координаты. Полярные координаты
- •§3. Векторы, линейные операции над ними
- •§4. Проекция вектора на ось
- •§5. Разложение вектора по базисным векторам
- •§6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями
- •§7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
- •§8. Направляющие косинусы вектора
- •§9. Скалярное произведение векторов, угол между
- •§10. Векторное произведение векторов, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
- •§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
- •Глава 2. Элементы аналитической геометрии
- •§1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •§2. Плоскость, общее уравнение плоскости
- •§3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •§4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
- •§5. Прямая в пространстве и ее уравнения
- •§6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •§7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности
- •§8. Уравнение линии на плоскости
- •§9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми
- •§10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- •§11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •§12. Кривые второго порядка. Окружность
- •§13. Эллипс
- •§14. Гипербола
- •§15. Парабола
- •§16. Преобразование координат на плоскости
- •§17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве
- •§18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
- •§19. Эллипсоид
- •§21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды
- •§22. Эллиптический и гиперболический параболоиды
- •Глава 3. Элементы линейной алгебры
- •§1. Определители высших порядков
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный метод решения
- •§5. Формулы Крамера
- •§6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса
- •§7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •§8. Однородные системы
§14. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка . Тогда фокусы имеют координаты , . Пусть – произвольная точка гиперболы, тогда по определению
Рис. 25
Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния и , как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):
. (40)
Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны треугольника , и она больше , поэтому – действительное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы
(41)
Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит и только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмотреть картину в первой четверти плоскости, где и . Для таких значений , из уравнения (41) выразим и получим
. (42)
Эта формула выражает ординату точки гиперболы, абсцисса которой есть . При ордината , получим точку гиперболы. С увеличением абсциссы точки её ордината согласно (42) увеличивается. Точка уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части гиперболы строятся по симметрии.
Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается. Возьмём прямую с уравнением
(43)
проходящую через точки и Пусть – точка прямой (43), имеющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны и , так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна расстоянию между точками и , следовательно,
.
Для положительных знаменатель с увеличением неограниченно увеличивается, поэтому дробь убывает. Таким образом, стремится к нулю, т. е. точка гиперболы приближается к точке прямой. В силу симметрии относительно такая же картина будет в третьей четверти плоскости.
Возьмём теперь прямую
. (44)
Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку и через точку , симметричную с относительно Ox. В силу симметрии гиперболы относительно оси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.
При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки и пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно , называется действительной осью гиперболы; и называется мнимой осью.