§2. Плоскость, общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве Oxyz задана плоскость, т. е. заданы:

• координаты точки , лежащей на этой плоскости;

• – проекции на оси координат ненулевого вектора , перпендикулярного плоскости, который называется нормальным вектором плоскости.

Пусть – произвольная точка плоскости. Рассмотрим вектор (см. рис. 16). Он лежит на рассматриваемой плоскости и поэтому перпендикулярен нормальному вектору этой плоскости, следовательно, скалярное произведение этих векторов . Выразим скалярное произведение через проекции векторов. Получим

. (4)

Это есть уравнение рассматриваемой плоскости, Здесь – текущие координаты, т. е. координаты произвольной точки плоскости.

Общее уравнение плоскости. Возьмём уравнение первой степени относительно :

, (5)

где A, B, C, D – заданные числа. Будем считать, что A, B, C одновременно не обращаются в нуль. Если же эти числа обращаются в нуль одновременно, то (5) примет вид и уже не будет уравнением. Пусть , тогда (5) можно записать в виде

. (6)

Но это есть уравнение вида (4), поэтому оно (следовательно, и уравнение (5)) определяет в пространстве Oxyz плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную к вектору .

Итак, уравнение (5) в пространстве всегда определяет плоскость с нормальным вектором . Оно называется общим уравнением плоскости. Мы показали также, что в (5) числа (коэффициенты уравнения при текущих координатах) представляют собой проекции на оси координат нормального вектора этой плоскости. Отметим отдельные частные случаи уравнения (5).

Пусть в (5) , тогда уравнение примет вид , плоскость в этом случае проходит через точку , так как координаты точки О удовлетворяют этому уравнению.

Пусть , тогда получим уравнение . В этом случае плоскость параллельна оси Oz, так как её нормальный вектор перпендикулярен к оси Oz. В самом деле, здесь проекция вектора на ось Oz равна . Следовательно, , значит, угол .

Пусть, . Тогда имеем уравнение . Плоскость проходит через ось Oz, так как проходит через начало координат О (поскольку ), кроме того, она параллельна оси Oz (поскольку ).

Пусть , . Тогда или . Плоскость параллельна плоскости , так как она параллельна оси Oz (поскольку ) и параллельна оси Oy (поскольку ).

Пусть , , . Тогда или . Это уравнение определяет плоскость , так как плоскость параллельна , как и в предыдущем случае, кроме того, она проходит через точку О (поскольку ). Остальные случаи рассматриваются по аналогии.

§3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть в пространстве Oxyz заданы две плоскости соответственно уравнениями

, (7)

, (8)

где коэффициенты – заданные числа. Тогда векторы и – нормальные векторы этих плоскостей (см. рис. 17). За угол между плоскостями (7) и (8) примем один из двухгранных углов (образованных ими), равный углу между их нормальными векторами. Использовав формулу (18) главы 1, определим

. (9)

Вычислив по формуле (9) , найдём угол .

Если , то плоскости (7), (8) параллель-ны между собой, так как коллинеарны их нормальные векторы.

Рис. 17

Если , то плоскости (7), (8) перпенди-кулярны между собой, так как перпендикулярны их нормаль-ные векторы.