§1. Действительные числа, числовая ось, определители …

________________________________________________________

Глава 1. Элементы векторной алгебры

§1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков

Одним из основных понятий в математике является понятие числа. Оно возникло в глубокой древности в результате счёта и измерений и совершенствовалось. Числа бывают рациональные и иррациональные.

Рациональное – это число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел и . Известно, что рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Примерами иррациональных чисел являются

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел.

Числовая ось – это прямая, на которой выбраны: точка – начальная точка отсчёта, положительное направление (на рис. 1 оно указано ), масштаб для измерения длины. На рис. 1 ось проведена горизонтально, положительное направление выбрано вправо.

Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Если число положительное, то его изображают точкой M для которой расстояние от начала равно а направление от точки до точки совпадает с положительным направлением оси; если число отрицательное, то его изображают точкой для которой расстояние от начала равно , а направление от точки до точки противоположно положительному направлению оси. Число называют координатой точки на оси пишут – координата точки пишут Числовую ось обозначают и называют координатной или осью координат.

Без обоснования: между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу отвечает определённая точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси отвечает определённое действительное число, которое изображается этой точкой. В дальнейшем вместо «точка с координатой » будем говорить «точка » и число будем писать рядом с точкой

Абсолютной величиной (модулем) числа называется число, обозначаемое || и равное

||=

Ясно, что абсолютная величина || числа – это расстояние от точки до начала .

Определители второго и третьего порядков. Пусть даны четыре числа Определителем второго порядка называют число где левая часть формулы – обозначение определителя.

Пусть даны девять чисел Определителем третьего порядка называется число, определяемое формулой

Левая часть формулы – обозначение определителя третьего порядка. Числа называются элементами определителя. Будем обозначать их где – номер строки, – номер столбца, к которым принадлежит элемент.

Минором, соответствующим элементу определителя третьего порядка, называется число равное определителю второго порядка, получаемому вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент

Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего порядка называют число, определяемое формулой . Это число равно , если чётно, и равно , если нечётно. Из этого определения следует, например,

.

Таким образом, формула определителя третьего порядка примет вид

Можно сделать вывод, что определитель третьего порядка есть сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Легко проверить, что сказанное справедливо для элементов любой строки (любого столбца) определителя, например,