§4. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Матричный метод решения
Дана система уравнений
,
(7)
где
– искомые неизвестные,
– заданные числа, называемые коэффициентами
уравнений системы,
– заданные числа, называемые свободными
членами системы уравнений.
Нужно найти
.
Введём три матрицы
,
(8)
,
(9)
. (10)
называется матрицей
коэффициентов
системы (7),
– матрицей
неизвестных,
– матрицей
свободных членов.
Определитель матрицы
называется определителем
системы и
обозначается
.
Итак, определитель системы (7) равен
.
(11)
Возьмём произведение
матриц (8) и (9). Так как
– столбцевая матрица, то это произведение
также представляет собой столбцевую
матрицу
.
Элементы этого
произведения равны согласно системе
(7) свободным членам соответствующих
уравнений этой системы, т. е.
соответствующим элементам матрицы
.
Следовательно, эти две матрицы равны
друг другу. Таким образом,
.
(12)
Это есть матричная запись системы (7).
Пусть определитель
системы (7), т. е. определитель (11),
отличен от нуля. Тогда по известной
матрице (8) коэффициентов системы (7)
найдём для неё обратную матрицу
.
На эту матрицу (все элементы которой
известны) умножим обе части (12), считая
матрицу
первой матрицей в произведениях, и
получим
.
(13)
Согласно первому
свойству умножения матриц, левая часть
формулы (13) равна
,
но так как
,
,
то левая часть формулы (13) равна
.
Таким образом,
.
(14)
Правая часть
формулы содержит известные матрицы.
Найдём произведение
.
Это будет столбцевая матрица с известными
элементами, но эта матрица по формуле
(14) равна матрице неизвестных
.
Поэтому их соответствующие элементы
равны друг другу. Приравняв эти элементы,
найдём неизвестные
.
§5. Формулы Крамера
Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера
(15)
Здесь
– определитель системы (7) (считается,
что
).
– определители, получаемые из определителя
заменой соответственно первого, второго,
…
-го
его столбца на столбец свободных членов
системы (7), т. е.
, 
,
…….
.
Запишем разложение определителя (11) системы (7) по элементам первого столбца:
(16)
В этой формуле
элементы первого столбца
заменим соответственно на
– свободные члены системы (7). Тогда
. (17)
Получили разложение
определителя
по элементам первого столбца. Аналогично
запишем разложение определителя
по элементам второго столбца
(18)
и т. д. Наконец,
получим разложение определителя
по элементам последнего столбца:
.
(19)
По формуле (14) будем иметь
.
В правой части матрицы перемножим и получим столбцевую матрицу. Теперь последнюю формулу запишем так:
.
Согласно (17) –
(19) в последней формуле суммы, стоящие
в числителях матрицы правой части,
равны соответственно
.
Следовательно, эту формулу можно
записать в виде
.
В этом соотношении матрицы слева и справа равны друг другу, следовательно, их соответствующие элементы равны, т. е. получаем соотношение (15). Из формул Крамера вытекает следующая
Теорема. Если определитель системы (7) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение (которое можно найти, например, по формулам Крамера).