§17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве
Известно, что
положение точки на прямой определяется
одним числом – её координатой, положение
точки на плоскости определяется двумя
числами – координатами этой точки, а
положение точки в пространстве – трёмя
числами, её координатами. Обобщая эти
представления, можно вести 4-мерное и
т. д.,
-мерное
пространство. Таким путём можно построить
-мерную
геометрию. Известно, что стереометрия
основывается на системе аксиом –
аксиоматике. Аналогично можно построить
многомерную евклидову геометрию, взяв
за основу аксиоматику, аналогичную
аксиоматике стереометрии. Но исторически
многомерная геометрия была создана
иначе, а именно, не на основании аксиом,
аналогичных аксиомам стереометрии, а
на основании так называемых координатных
аксиом.
Запишем их.
Каждой точке
отвечает определённая последовательность
чисел
– координат этой точки; в этом случае
пишут
.
Каждой паре точек
и
ставится в соответствие положительное
число, называемое расстоянием
между этими точками
и определяемое следующим образом:
.
Геометрическими считаются лишь такие соотношения, которые связывают расстояния между точками и сохраняются при умножении всех расстояний на одно и то же число (как и при преобразовании подобия в стереометрии).
Теория, основанная
на указанных аксиомах, называется
-мерной
евклидовой геометрией.
Множество точек
,
для которых справедливы эти аксиомы,
называется
-мерным
евклидовым пространством.
Пусть
– две точки в пространстве с координатами
и
.
Вектором,
у которого начало находится в точке
,
а конец – в точке
,
назовём величину, обозначаемую
(
),
координаты которой равны разностям
координат конца и начала (как в трёхмерном
пространстве):
.
Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю, в противном случае это ненулевой вектор.
Пусть даны два
вектора
и
в
-мерном
евклидовом пространстве. Они называются
равными,
если все их соответствующие координаты
равны друг другу, т. е.
для всех
.
Суммой
этих векторов называется вектор,
обозначаемый
и определяемый формулой
.
Иначе говоря, при сложении векторов их
соответствующие координаты складываются.
Аналогично определяется разность
векторов.
Произведением
на число
называется вектор
,
т. е. при умножении вектора на число
на это число умножаются все его
координаты.
Скалярным
произведением векторов
и
называется число
. (55)
Запишем (55) для
случая, когда
,
т. е.
заменим на
:
.
Квадратный корень из этого числа
называется нормой
вектора
и обозначается
.
(56)
Векторы
и
называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно
нулю.
Пусть в рассматриваемом
-мерном
пространстве заданы векторы
,
,
…
,
которые называются базисными
векторами.
Норма каждого из них равна единице, это
видно из формулы (56). Кроме того, каждые
два из этих векторов ортогональны.
Указанные векторы умножим соответственно
на
– координаты вектора
– и сложим полученные произведения.
Получим
.
Итак,
.
Это есть разложение вектора
по базисным векторам в
-мерном
пространстве.
Как и в трёхмерном
пространстве, каждой точке
будем ставить в соответствие её
радиус-вектор
,
концом которого является точка
,
а началом – точка
.
Пусть в
-мерном
пространстве заданы точка
своим радиус-вектором
и ненулевой вектор
.
Прямой
в этом пространстве называется множество
точек, радиус-векторы которых определяются
формулой
,
где
– скаляр (параметр), который принимает
любые действительные значения.
Пусть в пространстве
заданы точка
своим радиус-вектором
и два ненулевых вектора
и
,
для которых не выполняются условия
коллинеарности
.
Плоскостью
в
-мерном
пространстве называется множество
точек, радиус-векторы которых определяются
формулой
,
где
,
– действительные скалярные величины,
принимающие любые действительные
значения.
Аналогично можно
ввести понятие сферы в
-мерном
пространстве.