4. Динамические методы оценки эффективности инвестиционных проектов

   1. Основы финансовой математики

В любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Исходная сумма Наращение

Возвращаемая сумма

Процентная ставка (будущая)

Ожидаемая к

Дисконтирование поступлению сумма

Приведенная сумма

Коэффициент

дисконтирования

Рис. 4.1. Логика финансовых операций

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, а требуется определить будущую стоимость, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, а требуется определить текущую стоимость, называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (рис. 4.1.).

4.1.1. Расчет наращенных сумм по простым и сложным процентным ставкам

Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока кредита и от величины ссудного процента или, иначе говоря, процентной ставки. Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением

где Е – процентная ставка, выраженная десятичной дробью: J – величина дохода владельца капитала; К₀ – сумма капитала, предоставляемого в кредит; Т – срок ссуды в годах.

Пример 3.1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 30,0 млн руб. (номинальная стоимость векселя). Определить доходность этой сделки, т.е. размер процентной ставки.

Решение:

По условию задачи: первоначальная сумма капитала, предоставляемого в кредит, К₀ = 20,0 млн руб. Номинальная сумма векселя, т.е. сумма, которую получит владелец капитала (инвестор) через год, К₁ = 30,0 млн руб., дохода инвестора J = 30,0 – 20,0 = 10 млн руб.

Отсюда

Используя выражение для расчета процентной ставки, мы можем записать, что величина дохода инвестора определяется по формулам:

J = К ∙ Т ∙ Е, если Е выражена в долях единицы;

Величину J часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда и просто процентами.

В дальнейшем и мы будем пользоваться этим термином.

Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться, в зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов:

- по простым процентным ставкам;

- по сложным процентным ставкам.

Их основное отличие заключается в выборе исходной базы для начисления процентов.

Простой процент – это способ начисления процентов только на начальную инвестируемую сумму денежных средств. При этом способе начальная сумма денежных средств К₀ за определенный период времени Т, в течение которого начисляются процент, вырастет до величины

Величина (1 + Т∙Е) называется множителем наращения простых процентов. При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды исчисления процентов выражают дробным числом, т.е.

где n – число дней, на которое предоставлен кредит; Р – временная база (число дней в году), равная 365 или 360 дням. Различие в продолжительности года вызвано тем, что в ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом, т.е. Р = 12 ∙ 30 = 360 дней. Это так называемая «германская практика». В англоязычных странах (и в России) в банковских расчетах продолжительность года принимается календарная, т.е. 365 дней, число дней в месяце также соответствует календарю.

Пример 4.2: Банк выдал клиенту ссуду в 20 млн руб. сроком на полгода по ставке простых процентов, равной 40% годовых. Определить проценты и сумму с накопленным долгом по германской практике.

Решение:

Доход банка (проценты): J = 20 ∙ 0,4 ∙ 0,5 = 4 млн руб.

Сумма с накопленным долгом: К_t = 20 +4 = 24 млн руб., или

Пример 4.3. Выдана ссуда в размере 4 млн руб. на 1 месяц под 10% годовых. Какова будет ее величина к платежу по германской практике.

Решение:

Сумма к платежу составит:

Если по условию кредитного соглашения устанавливается переменная процентная ставка, то наращенная сумма определяется по формуле

где m – число периодов начисления, Т_i – продолжительность начисления ставки Е_i.

Пример 4.4: Банк предлагает своему клиенту-заемщику следующие условия предоставления кредита: первое полугодие – 40% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 8%. Проценты начисляются только на первоначальную сумму предоставленного кредита. Определить наращенную сумму долга, если кредит составлял 50 млн руб. на год.

Решение:

К_t = 50 ∙ (1 + 0,5 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,48 + 0,25 ∙ 0,56) = 73 млн руб.

Наряду с рассмотренным методом начисления по простой процентной ставке используется метод начисления по сложной процентной ставке. Суть метода заключается в том, что на наращенные в предыдущем периоде суммы вновь начисляются проценты, т.е. происходит многоразовое наращение. Подобный процесс называют капитализацией процентного дохода.

Используя ранее введенные обозначения, рассчитаем по сложным процентам наращенную сумму за n лет.

В конце 1-го периода (года) наращенная сумма равна К₁ = К₀∙(1+Е).

В конце 2-го периода (2-го года)

.

В конце t-го года наращенная сумма будет равна .

Процесс увеличения первоначальной суммы в результате накопления процентов, т.е. начисления сложных процентов, называется наращением (компаудингом). Он используется для определения будущей (наращенной) стоимости FV:

где FV- будущая стоимость (future value); PV – текущая (первоначальная) стоимость (present value); t – число лет операции; Е – ставка (норма) доходности, равная ставке процента за кредит, доли ед.

Величину называют множителем наращения сложных процентов.

Пример 4.5: Инвестор получил кредит в банке на сумму 150,0 млн руб. сроком на 3 года под 20% годовых (сложные проценты). Определить сумму погашения долга в конце срока.

Решение:

Зачастую банки, предоставляя долгосрочные кредиты, используют изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле

где Е₁, Е₂,…Е_к – последовательные значения ставок процентов; t₁, t₂,…t_к - периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример 4.6. Строительная фирма получила кредит в банке на сумму 100,0 млн руб. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10,5% для 1-го года, для 2-го предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для 3-го года и последующих лет – в размере 0,75%.

Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

К₅ = 100 ∙ (1 + 0,105) ∙ (1 + 0,105 + 0,015) ∙ (1 + 0,105 + 0,015 + 0,0075) х

х (1 + 0,105 + 0,015 + 0,0075 + 0,0075) ∙ (1 + 0,105 + 0,015 + 0,0075 ∙ 3) =

= 180,95 млн руб.

Использование в финансовых расчетах простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты; различия между ними обусловлены сроками сделок.

Так, при равной величине простых и сложных процентов при сроке ссуды меньше одного года наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, т.е. (1 + Т ∙ Е) > (1 + Е)^t.

При сроке сделки больше одного года наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.е.

(1 + Т ∙ Е) < (1 + Е)^t.

При применении сложного процента капитал, генерирующий (накапливающий) доходы, постоянно возрастает, что повышает заинтересованность вкладчика в оставлении инвестированного и полученного в результате инвестирования капитала в том же объекте вложений. При применении простого процента вкладчик заинтересован снимать доходы по мере их начисления для потребления и использовать в других инвестиционных проектах или в текущей деятельности.

Пример 4.7. Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн руб. при размещении ее в банке на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15 %, а периоды наращения 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

Решение:

а) простые проценты

б) сложные проценты

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом, начисление процентов может выполняться двумя методами:

а) по формуле сложных процентов

б) смешанным методом

где t = а + в – период сделки; а – целое число лет; в – дробная часть года.

Пример 4.8. Инвестор получил кредит в банке в размере 250 млн руб. со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев (2 года и 270 дней). При расчете банк использует германскую практику (продолжительность года 360 дней). Банковская ставка – 9,5 % годовых. Определить сумму к возврату при использовании банком сложных процентов и смешанного метода.

Решение:

а) использование сложных процентов

;

б) по смешанному методу