3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
Основными характеристиками распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате являются моменты С-кривой. В зависимости от начала отсчета случайной величины различают начальные и центральные моменты.
Начальные моменты
Общий вид начальных моментов
|
|
,
(3.25)
где – номер момента;
– нулевой момент – площадь под кривой,
|
|
;
(3.26)
– первый момент характеризует среднее время пребывания или математическое ожидание случайной величины времени пребывания,
|
|
.
(3.27)Случайные величины, отсчитываемые от математического ожидания, называются центрированными. Моменты центрированной величины называются центральными.
Центральные моменты
Общий вид центральных моментов
|
|
.
(3.28)
Нулевой и первый центральные моменты соответственно равны:
Второй центральный момент характеризует рассеяние случайной величины относительно среднего времени пребывания и называется дисперсией.
|
|
.
(3.29)
Третий центральный момент характеризует асимметрию распределения.
|
|
.
(3.30)
Четвертый центральный момент определяет островершинность распределения.
|
|
.
(3.31)4. Типовые модели структуры потока
Сложный характер взаимодействия фаз в аппаратах вынуждает нас прибегать к приближенному представлению о внутренней структуре потока на уровне типовых гидродинамических моделей: идеального перемешивания (ИП), идеального вытеснения (ИВ), ячеечной модели (ЯМ), ячеечной модели с рециркуляцией (ЯМР), диффузионной модели (ДМ) и др. Эти модели являются простыми и носят полуэмпирический характер. Тем не менее они позволяют получать математическое описание, достаточно точно отражающее физическую сущность реальных процессов и адекватное объекту моделирования.
Требования к моделям:
-
отражение физической сущности реального потока при достаточно простом математическом описании;
-
простота определения параметров экспериментальным или расчетным путем;
-
удобство для использования при расчетах конкретных химико-технологических процессов.
Типовые модели подразделяются на два класса: идеальные и реальные.
К первому классу относятся модели ИП и ИВ, они предполагают идеальную структуру потока и не всегда адекватны реальным процессам. Для описания реальных объектов чаще применяют модели второго класса, среди них наиболее распространены: ЯМ; ЯМР и ДМ.
4.1. Модель идеального перемешивания
Модель ИП представляет теоретическую модель с идеализированной структурой потока. В соответствии с ней принимается, что поступающий в аппарат поток, вследствие полного перемешивания частиц среды, мгновенно распределяется по всему объему. При этом концентрация распределенного вещества во всех точках аппарата одинакова и равна концентрации на выходе. Схематично данную модель можно представить следующим образом:
,
где
и
концентрации вещества на входе в аппарат
и выходе из аппарата соответственно.
Модель ИП наиболее адекватно воспроизводит структуру потока в аппаратах с мешалками (рис. 4.1), имеющими эллиптические или полусферические днища, соотношение высоты и диаметра корпуса близкое к единице, и снабженными отражательными перегородками.
Получим модель ИП исходя из уравнения
материального баланса. В соответствии
с материальным балансом в стационарных
условиях и при отсутствии химических
превращений приход равен расходу, т.е.
.
Но при изменении концентрации на входе,
или при наличии превращений, изменение
количества вещества в аппарате в единицу
времени будет равно разнице между
приходом и расходом
|
|
,
(4.1)
где
– среднее время пребывания потока в
аппарате.
Рис. 4.1. Принципиальная схема модели ИП
Решения модели:
Импульсное возмущение
Для граничных условий Свх = 0 и Свых = Сн = G/V при t = 0
|
|
,
(4.2)
где Сн и G – начальная концентрация в потоке и общее количество индикатора соответственно.
Ступенчатое возмущение
Для граничных условий Свых = 0 и Cвх = const при t = 0
|
|
(4.3)
Основным параметром модели ИП является
среднее время пребывания
.
Отклики модели на импульсное и ступенчатое возмущения приведены на рис. 4.2.
t,
мин
t,
мин
Рис. 4.2. Отклики модели ИП на типовые возмущения