3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
Известно, что гидродинамическая структура потока в аппарате существенно определяет эффективность и завершенность химико-технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой, на которой строится математическое описание всего химико-технологического процесса. Однако поведение потока в аппарате является настолько сложным, что в большинстве случаев не поддается строгому математическому описанию. Следовательно, необходимо найти такой параметр оценки структуры потока, который, не вдаваясь в математические подробности, позволил бы качественно его охарактеризовать. Одним из таких параметров является функция распределения по времени пребывания (РВП) частиц потока в аппарате рис. 3.1.
Рис. 3.1. Функция распределения по времени пребывания частиц потока в аппарате
Функция РВП отражает время пребывания различных долей потока в аппарате и, следовательно, характеризует длительность взаимодействия компонентов реакционной смеси.
Если известен явный вид функции РВП и кинетические закономерности процесса, то, составив математическую модель, легче определить оптимальные условия его протекания.
Характер функции РВП определяется неравномерностью потока в аппарате, имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распределением.
Наиболее существенными источниками неравномерности потока являются:
– неравномерность профиля скоростей;
– турбулизация потока;
– наличие застойных зон;
– каналообразование, перекрестные и байпасные токи;
– температурные градиенты движущихся сред;
– тепло- и массообмен между фазами и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные экспериментальные методы исследования структуры потоков.
3.1. Методы исследования структуры потоков
Сущность указанных методов заключается в том, что на входе потока в аппарат вводят индикатор, а на выходе измеряют его концентрацию как функцию времени. Полученная выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. В качестве индикаторов обычно используются красители, растворы солей и кислот, изотопы и др. вещества.
Индикатор должен соответствовать следующим требованиям:
– поведение частиц индикатора в аппарате должно быть подобно поведению частиц потока;
– индикатор не должен взаимодействовать со средой;
– должен легко измеряться.
В зависимости от способа подачи индикатора различают три основных метода исследования структуры потоков: импульсный; ступенчатый; циклический.
Импульсный метод
В соответствии с импульсным методом на входе потока в аппарат, практически мгновенно, в виде дельта функции, вводят определенное количество индикатора. Тогда возмущающий сигнал и кривая отклика будут иметь следующий вид (рис. 3.2).
Если обозначить объемный расход потока
через
,
а экспериментальную функцию отклика,
представляющую собой концентрацию
индикатора на выходе потока из аппарата
как функцию времени t через Сэ(t),
то количество индикатора, время пребывания
которого в аппарате изменяется от t
до t + dt, составит
,
(3.1)
а отношение dG ко всему количеству индикатора G выразит долю индикатора, вышедшего из аппарата за то же самое время:
Рис. 3.2. Кривая отклика на импульсное возмущение
|
|
,
(3.2)
где G можно определить как
|
|
.
(3.3)
Тогда, подставив значение G из уравнения (3.3) в уравнение (3.2), получим
|
|
,
(3.4)где выражение
|
|
(3.5)задает нормированную С-кривую.
Так как поведение индикатора в аппарате идентично поведению основного потока, то выражения (3.2) и (3.4) представляют собой долю потока, время пребывания которого изменяется от t до t + dt.
Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,
|
|
.
(3.6)С учетом формул (3.4) – (3.6) получим
|
|
.
(3.7)
Использование полученной функции
отклика в натуральных значениях координат
Cэ(t)
– t не всегда бывает удобным для
расчетов, поэтому кривую отклика обычно
приводят к безразмерному виду
и называют С-кривой.
Здесь
–
безразмерное время,
|
|
;
(3.8)
а
–
безразмерная концентрация,
|
|
,
(3.9)
где
– начальная концентрация индикатора
в потоке,
|
|
,
(3.10)
здесь
–
объем аппарата.
Среднее время пребывания потока в аппарате можно также представить в виде отношения объема аппарата V к объемному расходу потока,
|
|
.
(3.11)
Установим связь между dR и C().
Для этого умножим и разделим правую
часть уравнения (3.2) на
и с учетом уравнений (3.8) – (3.11) получим
|
|
,
(3.12)где
|
|
.
(3.13)
Таким образом
|
|
.
(3.14)
Теперь найдем связь между
.
На основании уравнений (3.4 – 3.14) имеем
|
|
.
(3.15)Если построить экспериментальную кривую в нормированных координатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от 0 до , будет определяться по формуле
|
|
(3.16)естественно, что
|
|
.
(3.17)
Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.
Ступенчатый метод
В соответствии со ступенчатым методом концентрацию индикатора на входе потока в аппарат меняют скачкообразно от нуля до некоторого значения (или от некоторого значения до нуля) и в дальнейшем оставляют неизменной.
Кривая отклика при этом имеет вид, представленный на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Кривая отклика на ступенчатое возмущение
Если выразить данную зависимость в
безразмерных координатах
,
то она будет называться F-кривой,
где
|
|
.
(3.18)В данном случае доля элементов потока, время пребывания которых находится в пределах от до + d, составит
|
|
,
(3.19)
а доля элементов потока со временем пребывания от 0 до
|
|
.
(3.20)
Так как сумма всех долей жидкости в
аппарате равна 1, то площадь под С-кривой
равна 1 и
при
,
т.е.
|
|
.
(3.21)
Среднее время пребывания потока в аппарате
|
|
.
(3.22)
Проинтегрировав полученное выражение по частям, получим
|
|
.
(3.23)
Окончательно среднее время пребывания потока выразится через функцию F следующим образом:
|
|
.
(3.24)
Геометрически среднее время пребывания потока соответствует площади над кривой F(t).
Циклический метод
При циклическом методе концентрацию индикатора на входе потока в аппарат изменяют по синусоидальному закону. В этом случае функция отклика тоже представляет собой синусоиду, но имеющую другую амплитуду и сдвинутую по фазе (рис. 3.4).
С помощью циклического метода можно определить коэффициент обратного перемешивания потока. Организовать подачу индикатора подобным образом сложнее, поэтому данный метод менее распространен.
Рис. 3.4. Кривая отклика на циклическое возмущение