- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Оглавление
- •Введение, основные понятия и определения
- •1. Методы моделирования и область их применения
- •1.1. Физическое моделирование (фм)
- •1.2. Математическое моделирование (мм)
- •2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей
- •2.1. Составление математической модели
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
- •4. Типовые модели структуры потока
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.3. Ячеечная модель
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих моделям ип и ив
- •5. Методы статистического анализа эксперимента
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, распределение Стьюдента
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
- •5.7. Проверка однородности результатов измерений
- •6. Планирование эксперимента
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Выбор области проведения эксперимента
- •6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •7. Оптимизация эксперимента
- •8. Планы второго порядка
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Список литературы
- •Приложение 1. Квантили нормального распределения
- •Приложение 2. Квантили распределения Пирсона
- •Приложение 3. Значения параметра для различных уровней значимости и степеней свободы
- •Приложение 4. Квантили распределения Стьюдента
- •Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Приложение 7. Примеры использования типовых моделей для описания процесса теплообмена
- •Лицензия лр № 020370
2.2. Нахождение решения математической модели
Как правило, решение модели представляет наиболее сложную задачу, когда ее математическое описание получено в дифференциальной форме. Если аналитического решения нет или оно затруднено, то для получения результата используют численные методы.
Рассмотрим пример решения численным методом уравнения движения частицы в условиях переменной скорости потока. Ранее нами было получено уравнение (2.6), устанавливающее функциональную связь между параметрами потока, характеристиками частицы и высотой ее подъема в сепарационном пространстве аппарата. Перепишем это уравнение с учетом непостоянства коэффициента сопротивления и скорости потока по высоте зоны сепарации:
, (2.10) |
где – коэффициент сопротивления как функция скорости частицы относительно потока; – текущая скорость потока как функция высоты подъема частицы, например в диффузоре.
Составим алгоритм решения приведенной модели для случая, когда сепарационная зона аппарата кипящего слоя выполнена в форме диффузора круглого поперечного сечения. Предварительно уравнение (2.10) приведем к следующему виду:
, (2.11)
где, в отличие от ранее разобранного примера, скорость потока зависит от текущей высоты диффузора,
, (2.12) |
здесь V – объемный расход потока газа; r – меньший радиус диффузора, и Н – угол раскрытия диффузора и высота подъема частицы соответственно.
Для решения уравнения (2.11) выберем один из самых простых методов – метод Эйлера. Обозначим правую часть уравнения (2.11) через f(W, H), тогда в соответствии с принятым методом можно написать
. (2.13) |
Алгоритм решения уравнения (2.13) будет следующим:
1. Задание исходных значений и граничных условий:
Wп0, W0, Wв, Wп(H), H0, dH, в, ;
Wп = Wп0 и W = W0 при H = H0 = 0;
W = 0 при H = Hmax;
2. Определение нового значения скорости частицы W = W + + f(W, H)dH;
3. Определение нового значения высоты подъема частицы H = = H + dH;
4. Проверка условия W 0, если условие выполняется, то переход к п.5, в противном случае переход к п.2;
5. Выход.
2.3. Проверка моделей на адекватность
Математическая модель объекта является лишь его аналогом, поэтому значения переменных, полученные на объекте и модели, различаются. В связи с этим возникает задача установления близости модели реальному объекту, т.е. ее адекватности.
Одним из критериев оценки адекватности однооткликовых моделей является критерий Фишера F.
, (2.14) |
где – дисперсия адекватности, характеризующая разброс между экспериментальными и расчетными значениями параметра оптимизации; – дисперсия воспроизводимости, характеризующая разброс (относительно среднего) значений параметра оптимизации в параллельных опытах.
Если проведено n не параллельных опытов, а для получения дисперсии воспроизводимости проделана серия из m параллельных опытов, то
, , (2.15) |
здесь
, , (2.16) |
где fад и fвос соответственно число степеней свободы дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости; – количество факторов, у – расчетное значение параметра оптимизации; – среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,
. (2.17) |
Расчетное значение F сравнивают с Fкр критическим значением (приложение 5). Если F < Fкр, модель адекватна, в противном случае – нет.
Рассмотрим пример на определение адекватности модели.
Имеются экспериментальные значения фактора хi и параметра оптимизации (табл. 2.1), а также уравнение регрессии, полученное в результате их обработки, y = 1,2 + 0,8x. Для оценки дисперсии воспроизводимости было поставлено четыре параллельных опыта при значениях фактора x = 0 (табл. 2.2).
Таблица 2.1
Результаты эксперимента
-
Nоп
1
2
3
4
5
xi
–2
–1
0
1
2
0
0
1,0
2,0
3,0
Таблица 2.2
Результаты параллельных опытов
-
Nоп
1
2
3
4
0
0
0
0
0,8
0,9
1,0
1,3
Требуется проверить полученное уравнение на адекватность.
Решение
Подставив значения фактора х в уравнение регрессии, определим расчетные значения параметра оптимизации: :(–0,4; 0,4; 1,2; 2,0; 2,8).
По формуле (2.17) определим среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,
,
где m количество параллельных опытов, равное четырем.
По формулам (2.15) вычислим значения дисперсий адекватности и воспроизводимости:
, ,
где ; ; n = 5; l = 1.
По формуле (2.14) определим расчетное значение критерия Фишера и сравним его с критическим значением, взятым по таблице в приложении 5 для fад = 3; fвос = 3 и 5 %-го уровня значимости, принимаемого в химико-технологических расчетах.
Вывод – уравнение регрессии адекватно описывает процесс.