6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Если эксперимент проведен на 2 уровнях и при этом осуществлялись все возможные комбинации, то постановка опытов по такому плану называется ПФЭ типа 2^k. Уровни факторов в этом случае представляют собой границы исследуемой области по соответствующему технологическому параметру.

Например, изучается влияние на выход продукта 3 факторов: z₁ – температуры, в диапазоне 100–200 °С; z₂ – давления, в диапазоне 2–6 кгс/см² и z₃ – среднего времени пребывания, в диапазоне 10–20 мин (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Факторы их уровни и интервалы варьирования

Факторы	Нижний уровень	Верхний уровень	Основной уровень, z0	Интервал варьирования, z
z1	100	200	150	50
z2	2	6	4	2
z3	10	20	15	5

Основной уровень и интервал варьирования связаны зависимостями

; . (6.1)

Для математической обработки результатов удобнее перейти к безразмерной системе координат x₁, x₂, ... , x_n путем следующего преобразования:

. (6.2)

В рассматриваемом примере k = 3. Число возможных комбинаций N из трех факторов на двух уровнях определяется как N = 2^k = 2³ = 8. План ПФЭ в безразмерном виде с результатами эксперимента приведен в табл. 6.2, геометрическая интерпретация плана представлена на рис. 6.4.

Таблица 6.2

Матрица планирования ПФЭ типа 2³

№ опыта	Факторы				Параметр оптимизации, %
	x0	x1	x2	x3	yэ
1	+1	-1	-1	-1	2
2	+1	+1	-1	-1	6
3	+1	-1	+1	-1	4
4	+1	+1	+1	-1	8
5	+1	-1	-1	+1	10
6	+1	+1	-1	+1	18
7	+1	-1	+1	+1	8
8	+1	+1	+1	+1	12

В результате обработки данных эксперимента по такому плану получают уравнение регрессии вида

. (6.3)

Так как в уравнении регрессии присутствует коэффициент b₀, то в матрицу планирования введен столбец x₀, все значения которого равны +1.

Рис. 6.4. План полного трехфакторного эксперимента

Свойства матрицы планирования:

1) ,

2) , (6.4)

3) ,

где k – число независимых факторов, N – число опытов в матрице планирования, u и j – номер фактора.

Первое свойство – равенство нулю скалярных произведений всех векторов-столбцов называется свойством ортогональности матрицы планирования. Это свойство существенно упрощает расчет коэффициентов регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х^ТХ) становится диагональной и ее диагональные элементы равны числу опытов в матрице планирования N.

Коэффициенты уравнения регрессии можно определить по методу наименьших квадратов.

B =	b0	= (XТX)–1 XТY.	(6.5)
	b1
	b2
	b3

Матрица моментов (X^ТX), соответствующая табл. 6.2, имеет вид

ХТХ =

(6.6)

С учетом свойств матрицы, приведенных ранее, получим

XТX =	N	0	0	0	(6.7)
	0	N	0	0
	0	0	N	0
	0	0	0	N

Матрица, обратная матрице моментов, получается равной

(XТX)–1 =	1/N	0	0	0	(6.8)
	0	1/N	0	0
	0	0	1/N	0
	0	0	0	1/N

и

XТY =

 B = (XТX)–1 XТY =

(6.9)

Следовательно, коэффициент уравнения регрессии b_j определяется скалярным произведением столбца Y на соответствующий столбец X, деленным на число опытов в матрице планирования N.

. (6.10)

Пользуясь планом, представленным в табл. 6.2, определим коэффициенты линейного уравнения регрессии (6.3).

Например, для определения коэффициента b₁ при x₁ необходимо получить сумму произведений:

x1i		yi			x1iyi
–1		2	=		–2
1		6			6
–1		4			–4
1		8			8
–1		10			–10
1		18			18
–1		8			–8
1		12			12

.

Аналогично получим b₀ = 8,5; b₂ = –0,5 и b₃ = 3,5.

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия

b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + (6.11) + b23 x2x3 + b123 x1x2x3,

то для определения недостающих коэффициентов парного и тройного взаимодействий необходимо расширить матрицу табл. 6.2 до матрицы табл. 6.3.

Таблица 6.3

Матрица планирования ПФЭ типа 2³ с учетом коэффициентов

взаимодействия

№ опыта	Ф А К Т О Р Ы								Параметр оптимизации, %
	х0	x1	x2	x3	x12	x13	x23	x123	yэ
1	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1	2	1
2	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1	6	6
3	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1	4	4
4	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1	8	9
5	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	10	11
6	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1	18	16
7	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1	8	8
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	12	13

Столбцы с x₁₂ по x₁₂₃ получены путем перемножения соответствующих индексам столбцов. Например, столбец x₁₂ получен путем перемножения столбца x₁ на столбец x₂.

Определяются коэффициенты взаимодействия аналогично простым коэффициентам по уравнению (6.10): b₁₂ = –0,5; b₁₃ = 0,25; b₂₃ = 1,5; b₁₂₃ = 0,25.

Если поставить параллельные опыты, можно определить дисперсию воспроизводимости , проверить значимость коэффициентов и при наличии степеней свободы – адекватность уравнения.

Так как матрица (Х^ТХ)^–1 спланированного эксперимента является диагональной, коэффициенты уравнения регрессии не коррелированы между собой. Поэтому значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента, и исключение из уравнения регрессии незначимого коэффициента не скажется на остальных коэффициентах. Диагональные элементы матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой точностью:

. (6.12)

Например, в центре плана поставлено дополнительно три параллельных опыта m = 3 и получены следующие значения параметра оптимизации : = 8; = 9; = 8,8. Тогда

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента:

t0 = |b0|/sb0 = |8,5| / 0,31 = 27,8.

Аналогично для остальных:

t1 = 8,2; t2 = 1,64; t3 = 13,46; t12 = 1,64; t13 = 0,82; t23 = 4,9; t123 = 0,82.

Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости р = 0,05 и числа степеней свободы f = 2 (приложение 4) равно t_p(f) = 4,3.

Таким образом, коэффициенты b₂, b₁₂, b₁₃ и b₁₂₃ незначимы и их следует исключить из уравнения. После их исключения уравнение регрессии примет вид

= 8,5 + 2,5x1 + 3,5x3 – 1,5x2x3.

Проверим адекватность полученного уравнения по критерию Фишера:

; ,

где L – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии, равное четырем. Тогда F = 2/0,28 = 7,1. Критическое значение критерия Фишера для р = 0,05; f₁ = 4 и f₂ = 2 равно F_кр = 19,3 (приложение 5). F < F_кр – уравнение адекватно.