- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Оглавление
- •Введение, основные понятия и определения
- •1. Методы моделирования и область их применения
- •1.1. Физическое моделирование (фм)
- •1.2. Математическое моделирование (мм)
- •2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей
- •2.1. Составление математической модели
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
- •4. Типовые модели структуры потока
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.3. Ячеечная модель
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих моделям ип и ив
- •5. Методы статистического анализа эксперимента
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, распределение Стьюдента
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
- •5.7. Проверка однородности результатов измерений
- •6. Планирование эксперимента
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Выбор области проведения эксперимента
- •6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •7. Оптимизация эксперимента
- •8. Планы второго порядка
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Список литературы
- •Приложение 1. Квантили нормального распределения
- •Приложение 2. Квантили распределения Пирсона
- •Приложение 3. Значения параметра для различных уровней значимости и степеней свободы
- •Приложение 4. Квантили распределения Стьюдента
- •Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Приложение 7. Примеры использования типовых моделей для описания процесса теплообмена
- •Лицензия лр № 020370
8.3. Ротатабельный план второго порядка
Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством ротатабельности. Бокс и Хантер предложили считать оптимальными ротатабельные планы второго порядка. Ротатабельным будет такое планирование, у которого матрица (XТX)–1 инвариантна к ортогональному вращению координат.
Рассмотрим построение ротатабельного плана второго порядка на примере k = 2. Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ типа 22, точки 5, 6, 7, 8 – звездные точки с координатами (, 0) и (0, ), координаты n0 опытов 9, 10, 11, 12, 13 в центре плана нулевые (0, 0) (табл.8.5).
Таблица 8.5
Ротатабельный план второго порядка для k = 2
Системы опытов |
№ оп. |
х0 |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
х12 |
х22 |
Полный факторный эксперимент |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Опыты в звездных точках |
5 |
+1 |
–1,412 |
0 |
0 |
+2 |
0 |
6 |
+1 |
+1,412 |
0 |
0 |
+2 |
0 |
|
7 |
+1 |
0 |
–1,412 |
0 |
0 |
+2 |
|
8 |
+1 |
0 |
+1,412 |
0 |
0 |
+2 |
|
Опыты в центре плана |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Определение коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий производится по следующим формулам:
; (8.13)
|
; (8.14) |
; (8.15)
|
. (8.16) |
Значения констант, входящих в выражения расчета коэффициентов регрессии, приведены в табл. 8.6.
Таблица 8.6
Вычисление коэффициентов регрессии при ротатабельном
планировании для k 5
Число факторов, k |
Число опытов, N |
n0 |
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
2 |
13 |
5 |
1,412 |
0,2 |
0,1 |
0,125 |
0,25 |
0,1251 |
0,0187 |
0,1 |
3 |
20 |
6 |
1,682 |
0,166 |
0,0568 |
0,0732 |
0,125 |
0,0625 |
0,0069 |
0,0568 |
4 |
31 |
7 |
2,0 |
0,1428 |
0,0357 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0037 |
0,0357 |
5* |
32 |
6 |
2,0 |
0,1591 |
0,0341 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0028 |
0,0341 |
5 |
52 |
10 |
2,378 |
0,0988 |
0,0191 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
0,0015 |
0,0191 |
* полуреплика
Ошибки коэффициентов определяются по формулам:
Sb02 = a1 Sвос2; Sbj2 = a3 Sвос2; Sbuj2 = a4 Sвос2; Sbjj2 = (a5+a6) Sвос2. (8.17) |
Значимость коэффициентов определяется по критерию Стьюдента аналогично определению значимости при ортогональном планировании эксперимента. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, то его следует исключить и коэффициенты уравнения регрессии пересчитать.
При использовании ротатабельных планов второго порядка отпадает необходимость в постановке дополнительных опытов для оценки дисперсии воспроизводимости. Дисперсию воспроизводимости определяют по опытам в центре плана. Остаточную дисперсию определяют аналогично ПФЭ. Адекватность уравнения регрессии проверяют по критерию Фишера: , где – дисперсия адекватности, – число степеней свободы дисперсии адекватности. Уравнение адекватно, если F < F1–p(f1, f2), где ; .