8.2. Ортогональный план второго порядка

В общем виде композиционные планы второго порядка не ортогональны, но они легко приводятся к ортогональным выборам соответствующего звездного плеча . Значения звездного плеча  для ортогонального композиционного плана приведены в табл. 8.3.

Выбрав из табл. 8.3 значение (при k = 2 и n₀ = 1) получим ортогональный план второго порядка для двух факторов (табл. 8.4) (с целью упрощения все последующие примеры приведены также для двухфакторного эксперимента).

Уравнение регрессии при центральном ортогональном композиционном планировании ищут в следующем виде:

= b0* + b1 х1 + b2 х2 + b12 х1 х2 + b11 х1* + b22 х2*. (8.3)

Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формулам

(8.4)

здесь j  0 при коэффициенте b_j и j  u при коэффициенте b_ju, b₀^* – промежуточный коэффициент.

Таблица 8.3

Значения звездного плеча  для различного числа факторов k

и опытов в центре плана n₀

n0	k
	2	3	4	5*
1	1	1,215	1,414	1,546
2	1,077	1,285	1,471	1,606
3	1,148	1,353	1,546	1,664
4	1,214	1,414	1,606	1,718
5	1,267	1,471	1,664	1,463
6	1,320	1,525	1,718	1,819
7	1,369	1,575	1,772	1,868
8	1,414	1,623	1,819	1,913
9	1,454	1,668	1,868	1,957
10	1,498	1,711	1,913	2,000

* полуреплика, х₅ = х₁х₂х₃х₄.

Таблица 8.4

Ортогональный план второго порядка для двух факторов

Системы опытов	№ оп	х0	х1	х2	х1 х2	х1*	х2*
Полный Факторный Эксперимент	1	+1	–1	–1	+1	+1/3	+1/3
	2	+1	+1	–1	–1	+1/3	+1/3
	3	+1	–1	+1	–1	+1/3	+1/3
	4	+1	+1	+1	+1	+1/3	+1/3
Опыты в звездных точках	5	+1	+1	0	0	+1/3	–2/3
	6	+1	–1	0	0	+1/3	–2/3
	7	+1	0	+1	0	–2/3	+1/3
	8	+1	0	–1	0	–2/3	+1/3
Опыты в центре плана	9	+1	0	0	0	–2/3	–2/3

Входящие в таблицу 8.4 и уравнения (8.3–8.4) вспомогательные переменные определяются по формуле

, (8.5)

где j – номер фактора; i – номер опыта.

Расчет вспомогательных переменных производится с целью приведения матрицы к ортогональному виду. Для того чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

= b0 + b1 х1 + b2 х2 + b12 х1 х2 + b11+ b22, (8.6)

b₀ определяют по формуле

(8.7)

и оценивают с дисперсией, равной

. (8.8)

Рассчитав дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученного уравнения.

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. Для k < 5 имеем:

. (8.9)

. (8.10)

. (8.11)

. (8.12)

где u, j = 1, 2, …, k; u  j .

Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента аналогично плану первого порядка (см. раздел 6.3).

Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера, как и в случае полного факторного эксперимента.