5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов

Математическое ожидание и генеральная дисперсия оцениваются выборочным средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше ее объем. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия – точность этого результата.

Предположим, анализируются n различных проб. Если производить определение выборочной дисперсии для каждой пробы отдельно, то потребуется очень много времени. Чтобы сократить количество анализов и время на их выполнение, расчет дисперсии производят сразу по всем пробам. Пусть при анализе каждой пробы выполнено параллельное число опытов: m₁, m₂, ... m_n. Число степеней свободы частных дисперсий соответственно определяется как: f₁ = m₁ – 1, f₂ = m₂ – 1, ... , f_n = m_n – 1. Общая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзвешенному значению частных дисперсий, где в качестве весов берутся степени свободы:

. (5.44)

Учитывая, что число степеней общей дисперсии

, (5.45)

а частные дисперсии определяются по формуле

, (5.46)

из уравнения (5.45) имеем

. (5.47)

Число степеней свободы общей дисперсии воспроизводимости, определяемой по формуле (5.47), гораздо больше, чем у каждой дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроизводимости намного точнее оценивает дисперсию генеральной совокупности ².

При вычислении дисперсии воспроизводимости по серии опытов объединяют только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины

Дисперсию генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки – выборочной дисперсии .

При числе степеней свободы f < 30 распределение выборочной дисперсии можно получить с помощью распределения Пирсона или – распределения. В этом случае доверительные двусторонние границы для генеральной дисперсии определяются выражением

. (5.48)

Для односторонней доверительной оценки используются соответственно квантили и . Значения квантилей распределения Пирсона приведены в приложении 2.

При числе степеней свободы f ≥ 30 доверительные границы для генерального стандарта определяются неравенством

. (5.49)

5.7. Проверка однородности результатов измерений

При выполнении измерений могут встретиться результаты, значительно отличающиеся от других аналогичных. Причиной отличий могут быть неаккуратность выполнения замеров, поломка приборов, действительное отклонение параметра от среднестатистического (например, при язвенной коррозии материала стенки аппарата) и т.п. Наличие грубой ошибки (или отклонения) в выборке значений случайной величины нарушает характер распределения и изменяет его параметры, т.е. нарушает однородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т.е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки получены из одной и той же генеральной совокупности.

Имеется выборка х₁, х₂, ... , х_n значений случайной величины Х. Пусть x_max и x_min соответственно максимально и минимально допустимые значения измерений выборки. Если какой-либо результат измерения х_i лежит за пределами интервала (x_min  x_max), то он будет считаться не принадлежащим к данной выборке и должен быть исключен из последующих расчетов. Значения x_max и x_min определяются по формулам

(5.50)

Значения для различных уровней значимости и степеней свободы приведены в приложении 3.