Введение, основные понятия и определения

Одной из основных задач химической технологии является создание новых высокоэффективных процессов и совершенствование уже действующих. Решение такой задачи возможно только с помощью методов математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов.

В пособии изложены методы физического и математического моделирования. Наиболее подробно представлено математическое моделирование с использованием типовых моделей химической технологии: идеального перемешивания; идеального вытеснения; ячеечной, ячеечной с рециркуляцией, диффузионной. Приведены основы статистического анализа и методы планирования эксперимента.

Цель пособия – показать на конкретных примерах способы создания математических моделей и их использования при решении инженерных и научных задач.

Основные понятия и определения

Под моделированием понимают процесс создания модели, ее исследование и распространение результатов исследования на оригинал. Оригиналом называют интересующий нас объект, моделью – изучаемый нами объект. При этом модель является лишь аналогом оригинала и не более того.

Цель моделирования – определение оптимальных условий протекания процесса.

Область применения моделирования: научные исследования; проектирование новых и совершенствование действующих процессов, аппаратов и производств.

Применение моделирования позволяет осуществить:

– оптимальное проектирование новых и оптимизацию действующих процессов;

– ускорение переноса результатов исследований на производство;

– решение задач исследования и реализация процессов, которые другими методами реализовать не удается.

1. Методы моделирования и область их применения

Все методы моделирования базируются на подобии оригинала и его модели. Под подобием понимают условия, при которых возможно количественное распространение результатов эксперимента с модели на оригинал. Подобие бывает физическим и математическим. В соответствии с этим в научных и инженерных исследованиях различают физическое и математическое моделирования.

1.1. Физическое моделирование (фм)

Под физическим моделированием понимают метод исследования на моделях, имеющих одинаковую с оригиналом физическую природу и воспроизводящих весь комплекс свойств изучаемых явлений. Самым наглядным примером такой модели является лабораторная установка.

Физическое моделирование базируется на физическом подобии, которое подразумевает геометрическое подобие, подобие скоростей, сил, сред и т.д. Научной основой физического моделирования является теория подобия. В химической технологии теория подобия распространена чрезвычайно широко и студентами химико-технологических специальностей изучается в курсе «Процессы и аппараты химической технологии».

Преимущества ФМ:

– полное воспроизводство процесса;

– наглядность процесса;

– возможность регистрации наблюдений без преобразующих устройств;

– изучение явлений, не поддающихся математическому описанию.

Недостатки ФМ:

– для исследования каждого нового процесса необходимо создавать новую модель;

– изменение параметров оригинала часто требует физической переделки или полной замены модели;

– высокая стоимость изготовления моделей сложных объектов;

– в ряде случаев имеются ограничения или оно вообще не применимо.

Последний недостаток проявляется, например, для систем с протеканием химических реакций, так как результат их протекания находится в сложной зависимости от геометрических размеров аппаратов и кинетических закономерностей процесса.

Рассмотрим два примера на применение теории подобия в физическом моделировании.

При строительстве оросительного канала требуется предсказать места наиболее вероятного отложения осадка. Для этого необходимо знать распределение скоростей потока в различных его сечениях. Канал является крупным гидротехническим сооружением и поэтому перед строительством необходимо провести исследование его характеристик на модели. Параметры модели, при которых она будет подобной оригиналу, можно определить с помощью теории подобия. Чтобы выполнялись условия геометрического и гидродинамического подобия между оригиналом и моделью необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса в паре сходственных точек

(1.1)

где W_1,2 – скорость потока; L_1,2 – характерный размер и – кинематическая вязкость жидкости (индекс 1 соответствует оригиналу, 2 – модели).

При использовании одинаковых жидкостей получим

(1.2)

т.е., чтобы выполнялось подобие, отношение скоростей в оригинале и модели должно быть обратно пропорционально отношению их геометрических размеров.

Однако применение теории подобия не всегда бывает удачным. Рассмотрим второй пример, где требуется смоделировать распределение жидкости в оросителе насадочной колонны типа «плита». Главный показатель хорошей работы оросителя – равномерное распределение жидкости между различными патрубками. Предположим, что диаметр оригинала L₁ =6, а модели L₂ = 1,5 (м). В данном случае на движение жидкости кроме сил вязкости будет оказывать влияние и сила тяжести, характеризуемая критерием Фруда. Поэтому условия подобия, кроме равенства критериев Рейнольдса, должны удовлетворять и равенству критериев Фруда в паре сходственных точек.

(1.3)

С целью облегчить создание подобия модели и оригинала введем дополнительные условия: и тогда выражения (1.3) примут вид

(1.4)

Система (1.4) имеет единственное решение L₁ = L₂, что делает бесполезным моделирование.

Попробуем добиться подобия, меняя вязкость жидкости, то есть введя ограничения только на g₁ = g₂. В данном случае система (1.3) примет вид

(1.5)

Решением системы является формула

. (1.6)

Это значит, что для модели вчетверо меньшей оригинала должна быть использована жидкость с вязкостью в 8 раз меньшей, чем у воды. Найти такую жидкость практически невозможно.

Попробуем решить задачу, изменяя g. Для этого модель потребуется поставить в центрифугу. Убедившись, что замена жидкости ничего не дает, оставим условие . Тогда из условия (1.3) получим

(1.7)

Решение системы имеет вид

(1.8)

т.е. если L₁/L₂ = 10 (для меньшего соотношения не найти центрифугу), то центрифуга должна создавать ускорение 1000 g₁, что превышает ее технические возможности.

Таким образом, усложнение задачи путем ввода второго условия подобия привело к практической невозможности построения модели, подобной оригиналу. Когда критериев более двух, то подобия модели и оригинала добиться еще сложнее. Этот недостаток в значительной мере ограничивает применение теории подобия для моделирования процессов и аппаратов химической технологии.