8. Планы второго порядка
8.1. Центральное композиционное планирование
Процесс оптимизации часто приводит в область факторного пространства, где кривизна поверхности отклика велика и вследствие этого не может быть описана многочленом первого порядка. Для адекватного математического описания в этом случае требуется многочлен более высокого порядка. В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму, применяют полиномы второго порядка.
|
|
(8.1)
Это объясняется следующим:
-
имеются хорошо разработанные планы второго порядка;
-
поверхности второго порядка легко поддаются систематизации и, следовательно, определению экстремальной точки;
-
дальнейшее возрастание порядка полинома приводит к значительному увеличению числа опытов.
Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах эксперимента должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из k факторов на трех уровнях, представляет собой полный факторный эксперимент 3k. Полный факторный эксперимент 3k требует слишком большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов l уравнения регрессии уже для k > 2 (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Количество опытов N и коэффициентов уравнения регрессии l
при различном числе факторов
|
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
N = 3k |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
|
l |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
Сократить число опытов можно, если воспользоваться композиционным планированием. Ядро таких планов составляет ПФЭ 2k при k < 5 или полуреплика от него при k 5. Затем к нему добавляют 2k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства, и увеличивают число экспериментов в центре плана. Отсюда и произошло название метода – центральное композиционное планирование (ЦКП). Пример матрицы планирования эксперимента второго порядка для двух факторов приведен в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов
|
Системы опытов |
№ оп. |
х0 |
х1 |
х2 |
х1 х2 |
х12 |
х22 |
|
Полный факторный эксперимент |
1 |
+1 |
+1 |
–1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
|
4 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
Опыты в звездных точках |
5 |
+1 |
+ |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
6 |
+1 |
– |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
|
7 |
+1 |
0 |
+ |
0 |
0 |
2 |
|
|
8 |
+1 |
0 |
– |
0 |
0 |
2 |
|
|
Опыты в центре плана |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
N |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Количество опытов в матрице композиционного плана второго порядка определяется по формулам
|
N = 2k + 2k + n0 при k < 5, (8.2) N = 2k–1 + 2k + n0 при k 5 , |
где 2k – число опытов, образующих полный факторный эксперимент (ядро плана); 2k – число так называемых звездных точек в факторном пространстве, имеющих координаты (, 0, 0, ..., 0); (0, , 0, ..., 0); …; (0, 0, ..., ); n0 – опыты в центре плана, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0). Здесь – величина, называемая звездным плечом. Геометрически план второго порядка для двух факторов можно представить следующим образом (рис. 8.1).
Различают два вида композиционного планирования – ортогональное и ротатабельное.
Рис. 8.1. Композиционный план 2-го порядка для k = 2