Параметры, численно характеризующие эксплуатационные свойства

Б е з о т к а з н о с т ь

q(t) – вероятность отказа (функция распределения вероятности отказа)

p(t) – вероятность безотказной работы

f(t) – плотность распределения вероятности отказов (частота отказов)

(t) – интенсивность отказов

T_ср – средняя наработка до (первого) отказа. Матожидание времени работы до отказа

T₀ – наработка между отказами. Среднее время между двумя соседними отказами

 – параметр потока отказов. Среднее число отказов за время существования потока

Р е м о н т о п р и г о д н о с т ь

T_тр – средняя продолжительность текущего ремонта (восстановления)

T_в – среднее время восстановления элементов в ЗИПе

_в – интенсивность восстановления

P_в – вероятность восстановления. Функция распределения времени восстановления

Д о л г о в е ч н о с т ь

T_сл – средний срок службы

T_сп – средний срок службы до списания

T_сл – –процентный срок службы ( процентов устройств не достигнет предельного состояния)

T_сл.мр – средний срок службы между ремонтами

Т_{сл.ср(кр)} – средний срок службы до среднего (капитального) ремонта

R_ср – средний ресурс

R_н – назначенный ресурс. Суммарная наработка, при достижении ко-торой эксплуатация прекращается независимо от состояния устройства

R_ – -процентный ресурс. Суммарная наработка, в течение которой  процентов устройств не достигнет предельного состояния

R_ср.мр – средний ресурс между ремонтами

R_{ср.ср(кр)} – средний ресурс до среднего (капитального) ремонта

С о х р а н я е м о с т ь

Т_с – средний срок сохраняемости

Т_с – -процентный срок сохраняемости

Г о т о в н о с т ь

K_г – коэффициент готовности. Вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени

K_п – коэффициент простоя. Доля времени неработоспособности аппаратуры

K_ог – коэффициент оперативной готовности. Вероятность того, что аппарат окажется работоспособным в произвольный момент времени ожидания

K_ти – коэффициент технического использования. Отношение времени работоспособности к сумме времени работоспособности и времени обслуживания и ремонта

Э к с п л у а т а ц и о н н о - э к о н о м и ч е с к и е

п о к а з а т е л и

S_тр – средняя трудоемкость текущего ремонта чел.-ч

S_то – средняя трудоемкость технического обслуживания

S_утр – удельная средняя трудоемкость текущего ремонта. Средняя трудоемкость текущего ремонта, отнесенная к суммарной наработке

S_уто – удельная средняя трудоемкость технического обслуживания. Средняя трудоемкость технического обслуживания, отнесенная к суммарной наработке

K_эф.п – коэффициент эффективности профилактики

K_ст.э – коэффициент стоимости эксплуатации

Глава 2. Теория надежности Основные показатели надежности

Основные показатели надежности неремонтируемых изделий:

p(t) – вероятность безотказной работы (производная p(t) = дp(t)/дt)

q(t) – вероятность отказа (производная q(t) = дq(t)/дt)

(t) – интенсивность отказов

f(t) – плотность распределения вероятности отказов

T_ср – средняя наработка до отказа

Рассматривается наработка одного изделия. Продолжительность его работы до отказа есть случайная величина. Закон распределения случайной величины описывается функцией распределения q(t), плотностью распределения f(t), матожиданием T_ср и дисперсией . Интенсивность отказов(t) есть параметр закона распределения.

По определению

f(t) = q(t), .

Вероятность безотказной работы p(t) – это вспомогательная функция, определяемая как

p(t) = 1 – q(t), или .

По определению

.

Выполнив заменуиинтегрируя по частям дляи, получим:

,

а поскольку p(t)  0 быстрее, чем t  , первое слагаемое равно нулю. Следовательно,

,

т.е. среднее время безотказной работы есть площадь под кривой вероятности безотказной работы.

Интенсивность отказов связывает плотность и вероятность безотказной работы

f(t) = (t) p(t).

Учитывая, что f(t) = q(t) = –p(t), выражение для нахождения интенсивности

(t) = –p(t)/p(t) = q(t)/(1–q(t)),

откуда

, поскольку .

Для систем, состоящих из неремонтируемых элементов, если принять за отказ системы отказ хотя бы одного элемента, интенсивность отказа системы складывается из интенсивностей отказов элементов

.

Все остальные показатели рассчитываются на основании этого соотношения по тем же формулам.

Для ремонтируемых изделий (восстанавливаемых элементов) показатели надежности используются те же самые, что и для неремон-тируемых изделий (невосстанавливаемых элементов), меняется только смысловая нагрузка, что влечет некоторые изменения в названии параметров:

p(t) – вероятность безотказной работы после восстановления

q(t) – вероятность отказа после восстановления

(t) – параметр потока отказов (интенсивность потока отказов)

f(t) – плотность распределения вероятности отказов после восстановления

T₀ – средняя наработка между отказами.

Для восстанавливаемых изделий оценивается вероятность появления определенного количества отказов k на заданном промежутке времени t = t₂ – t₁. Если поток ординарный, без последействия, применяется закон распределения Пуассона. Для стационарного потока:

.

Случай k = 0 соответствует вероятности безотказной работы и вычисляется в общем случае по формуле

.

Для стационарного потока , или, если положить момент времени восстановленияt₁ = 0, и обозначить t = t₂ – вре- мя после восстановления, при условии, что отказа за это время не на-ступило.

Интенсивность потока отказов  вычисляется как среднее значение числа отказов в единицу времени

,

где k – число отказов за промежуток времени от t₀ до t.

Средняя наработка между отказами T₀ есть отношение интервала времени от t₀ до t к количеству отказов k, произошедших на этом интервале:

,

т.е. интенсивность и среднее время связаны обратной пропорциональной зависимостью

.

Когда интервал времени невелик (число k мало), Т₀ может отличаться от Т_ср. С увеличением интервала времени и числа отказов, произошедших на нем, значения параметров T₀ и  стремятся к средним значениям:

T₀ = T_ср,  = .

Закон распределения времени между отказами в этом случае будет экспоненциальный. Такой поток называется потоком без последействия. Это означает, что для любых неперекрывающихся участков времени число отказов в одном из них не зависит от числа отказов в других. Например: поток заявок на ремонт аппаратуры можно считать потоком без последействия, а поток отремонтированной аппаратуры не является таковым, так как существуют ограничения на пропускную способность канала обслуживания. В этом смысле – поток регулярный (с фиксированным временем между отказами) и не является потоком без последействия.

В стационарных потоках с ограниченным последействием (поток Пальма) интервалы времени между отказами считаются независимыми случайными величинами, распределенными не по экспоненциальному закону распределения. Зависимость между потоком отказов и плотностью распределения вероятности отказов можно найти из интегрального уравнения возобновления (интегральное уравнение Вольтерра второго рода):

,

воспользовавшись преобразованием Лапласа,

и ,

где (s) и f(s) – преобразование Лапласа функций (t) и f(t).

Примечание. Прямое и обратное преобразование Лапласа

, , s =  + i.

Т а б л и ц а 2.1
Оригинал x(t)	Образ X(s)
a	a/s
at	a/s2
at2	2a/s3
atb	b!a/sb+1, b > 0
ae–t	a/(s + )
	s

Для нахождения образа функции и ори-гинала по образу (прямое и обратное преобразование) используются таблицы соответствия (табл. 2.1).

Свойства преобразования:

1) линейность X(s) = aX₁(s) + bX₂(s) 

x(t) = ax₁(t) + bx₂(t);

2) дифференцирование оригинала

L{дx/дt} = sX(s) – x(0), L{д²x/дt²} =

= s²X(s) – sx(0) – x´(0);

3) интегрирование оригинала

.

П р и м е р: Пусть f(t) = a²t. Найти (t).

Образ функции f(s) = a²/s². Ищем образ интенсивности потока отказов

.

По табл. 2.1 находим оригинал интенсивности потока отказов:

.