Расчет надежности при постепенных отказах

Параметрическая надежность – оценка вероятности отклонения значения параметра системы за допустимые границы с учетом связи между компонентами системы.

Вероятность можно вычислить, зная закон распределения случайной величины к заданному моменту времени. Закон может быть задан либо функцией распределения g(x), либо плотностью f(x) = g(x)/x.

Вероятность того, что случайная величина X (значение параметра) бу-дет находиться в заданных пределах от x₁ до x₂, вычисляется как

P(x₁<X<x₂) = g(x₂) – g(x₁) = .

Система подразумевает наличие нескольких связанных компонентов, значения которых случайны. Значение контролируемого параметра системы есть функция нескольких случайных величин, формульное выражение которой зависит от связей между компонентами. Закон распределения значения функции зависит от вида функции и является преобразованием законов распределений аргументов.

Ограничимся рассмотрением наиболее употребляемых частных случаев. Считается, что значения параметров компонентов электронной аппаратуры есть случайные величины с нормальным законом распределения. Матожидание принимается равным номинальному значению, а дисперсия определяется из заданных допусков. Значения параметров компонентов задаются при изготовлении и могут считаться независимыми.

Если X₁, X₂, …, X_n – случайные величины – значения параметров компонентов, а Y – значение параметра системы, причем Y = (X₁, X₂,…, X_n) – функция связи, матожидание и дисперсия значения функции вычисляются по соотношениям

,

,

где m – матожидание; ² – дисперсия, – частная производная функции по переменнойx_i, взятая в точке матожидания (при x = m_x).

Для коррелированных случайных величин в формулу дисперсии добавляется коэффициент корреляции (корреляционный момент) :

Законы распределения вероятности появления отказов

За время от изготовления изделия до предельного состояния ин-тенсивность отказов изменяется. Характер изменения интенсивности во времени описывается качественной кривой (рис. 2.3).

Рис. 2.3

На кривой выделяются три характерных участка: приработки, эксплуатации (нормальной эксплуатации) и износа. На участке приработки наблюдаются внезапные отказы из-за бракованных и ненадежных элементов. На втором участке интенсивность отказов минимальна и носит постоянный характер. На третьем этапе наблюдается увеличение интенсивности отказов из-за старения элементов.

Интенсивность отказов , так же как и вероятность отказов q, и вероятность безотказной работы p, зависят от плотности распределения вероятности отказов f. Существует несколько аппроксимаций плотности распределения вероятности отказов.

Распределение Вейбулла

Согласно этой аппроксимации, плотность распределения вероятности отказов определяется выражением

.

Откуда

, ,

, ,

где – гамма-функция.

Параметр a характеризует среднее время безотказной работы и совпадает численно с матожиданием при b = 1, а параметр b – характер поведения функции. При b < 1 – функция плотности распределения вероятности отказов имеет спадающий характер, при b > 1 – функция начинает приобретать максимум в точке t, стремящейся к a (рис. 2.4).

Рис. 2.4

При изменении параметра b интенсивность отказов (t) также имеет различный характер изменения во времени. При b < 1 функция (t) спадает, при b = 1 – не изменяется, при 1 < b < 2 – выпукла и возрас- тает, при b > 2 – возрастает и вогнута (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Таким образом, изменяя параметр b в распределении Вейбулла, можно аппроксимировать плотность распределения вероятности отказов на всех участках: приработки, эксплуатации и износа. Так, ранее приведенная качественная кривая (рис. 2.3) была построена при a = 10⁶ и b(t) = (t/a – 1)³ + 1.

Частные случаи распределения Вейбулла

Частные случаи распределения Вейбулла при b = 1 и b = 2 имеют более простые выражения для вычисления параметров безотказности, присущи характерным участкам времени эксплуатации и могут использоваться самостоятельно на этих участках.

Экспоненциальное распределение есть частный случай распределения Вейбулла при b = 1. При этом

; ;

Рис. 2.6

; ;.

Поскольку – константа(рис. 2.6), экспоненциальное рас-пределение характерно для этапа эксплуатации.

Рис. 2.6

Распределение Рэлея есть частный случай распределения Вейбулла при b = 2. При этом

; ;;

; .

Интенсивность линейно возрастает (рис. 2.7), следовательно, распределение Рэлея характерно для этапа износа.

Рис. 2.7

Другие распределения

Нормальный закон распределения используется для описания разброса значений:

;

,

где μ и σ – параметры. В частном случае, при µ = 0 и ² = 1 нормальный закон называют гауссовым, а случайную величину X – стандартной.

Распределение Пуассона описывает распределение дискретной случайной величины (рис. 2.8).

– вероятность появления k событий, где k = 0, 1, 2, … – дискретная случайная величина, a – параметр распределения.

Рис. 2.8

Физический смысл параметра a – это интенсивность, вычисляемая как произведение вероятности появления события p на количество испытаний n или на максимально возможное количество появлений события за время n(t). Предполагается, что p  0, а n   (закон редких событий).

Интенсивность численно равна матожиданию и дисперсии

a =  = ².