Числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием m_x или M(X), или {X} дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений:

.

Для равновероятных  – среднее значение.

Математическим ожиданием m_x или M(X) или {X} непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] (в том числе при a = – и/или b = +), назы- вается

.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие значения приняли какие-либо другие из оставшихся величин.

Математическое ожидание алгебраической суммы независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

.

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания называют дисперсией случайной величины:

= D(X) = M(X – m_x)²,

или для дискретной случайной величины,

для непрерывной случайной величины

.

Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин равна сумме (простой, а не алгебраической) дисперсий этих величин:

D(X₁  X ₂  …  X _n) = D(X ₁) + D(X ₂) + … + D(X _n).

Дисперсия постоянной величины равна 0. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее матожидания.

Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии .

Безразмерную центрированную случайную величину, вычисляемую как разницу между случайной величиной и ее матожиданием, деленную на среднеквадратическое отклонение, называют стандартной случайной величиной:

.

Матожидание стандартной случайной величины равно 0. Дисперсия стандартной случайной величины равна 1.

Начальные и центральные моменты

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется матожидание k-й степени случайной величины: v_k = M(X^k).

Для дискретной случайной величины

.

Для непрерывной случайной величины

.

Матожидание есть начальный момент первого порядка ₁.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется матожидание k-й степени разности случайной величины и его матожидания: _k = M(X – m_x)^k.

Для дискретной случайной величины

.

Для непрерывной случайной величины

.

Дисперсия есть центральный момент второго порядка ₂.

Коэффициентом асимметрии называется частное центрального момента третьего порядка и возведенного в куб среднего квадратического отклонения (рис. 1.5):

.

Рис. 1.5	Рис. 1.6

Эксцессом называется величина (рис. 1.6):

.

Функции системы случайных величин

Двумерной функцией распределения g(x,y) называется функ- ция, равная вероятности совместного наступления событий {X < x} и {Y < y}, т.е. g(x, y) = P( X < x, Y < y ).

Двумерной плотностью распределения вероятностей называется вторая смешанная производная двумерной функции распределения:

.

Для независимых случайных величин двумерная плотность распределения равна произведению плотностей этих величин f(x, y) = = f₁(x)  f₂(y).

Функция распределения суммы случайных величин Z = X + Y:

.

Плотность распределения суммы случайных величин

, или .

Для независимых случайных величин

, или –

композиция (свертка) законов распределения слагаемых.