Глава 2. Математическая статистика Выборочные характеристики и точечные оценки

Генеральная совокупность – совокупность всех объектов, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех результатов наблюдений над одной из случайных величин. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной.

Часть отобранных объектов из генеральной совокупности или часть результатов наблюдений называется выборочной совокупностью или выборкой.

Статистические характеристики, полученные по выборке, называются выборочными характеристиками.

Выборочное среднее:

,

где n – объем выборки;  – элемент выборки.

Операция расположения результатов наблюдений в порядке неубывания называется ранжированием. Выполним группировку одинаковых значений ранжированного ряда. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе, называется вариантом, численность группы – частотой или весом варианта, ряд из совокупности вариантов и частот – вариационным рядом. Отношение частоты к объему выборки есть выборочная вероятность появления варианта:

,

где k_i – частота i-го варианта.

Выборочное среднее взвешенное (с использованием весов вариантов) значение:

,

где ,m – количество весов; x_i – i-й вариант.

Выборочная дисперсия:

.

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она стремится к генеральному значению. Оценка называется несмещенной, если матожидание оценки по выборкам стремится к генеральному значению. Несмещенная оценка называется несмещенной эффективной, если обладает наименьшей дисперсией.

Выборочное среднее является состоятельной несмещенной эффективной оценкой матожидания:

.

Выборочная дисперсия является состоятельной смещенной неэффективной оценкой генеральной дисперсии. Состоятельной несмещенной неэффективной оценкой генеральной дисперсии является величина

.

Эффективной состоятельной несмещенной оценкой будет величина, рассчитываемая по формуле , содержащей значение матожидания, не всегда доступное.

–состоятельная, несмещенная и эффективная оценка вероятности («частость»).

Интервальная оценка числовой характеристики случайной величины

Точечная оценка является лишь приближением генерального значения. Для большого числа наблюдений приближения бывает достаточно в силу несмещенности, состоятельности и эффективности оценок. Для выборок небольшого объема вопрос о точности оценок становится критичным. В этом случае оценка представляется как некоторый вероятностный интервал значений оценки. Такая оценка называетсяинтервальной, интервал – довери-тельным, границы интервала – до-верительными границами, половина доверительного интервала – точность оценки, вероятность того, что интервал накроет генеральное значение доверительной вероятностью  или надежностью интервальной оценки (рис. 1.7)

.

Здесь О – генеральное значение оцениваемого параметра (например, матожидание или дисперсия). Границы доверительного интервала O^– и O⁺ вычисляются как

,

где  – точность оценки.

Поскольку значение оценки меняется от выборки к выборке, положение интервала относительно генерального значения будет меняться. В этом смысле корректнее говорить об , как о вероятности того, что интервал накрывает генеральное значение, а не генеральное значение попадает в доверительный интервал.

Как правило, доверительную вероятность принимают фиксированной, равной 0,95; 0,99; 0,999. По заданной вероятности находят границы доверительного интервала (точность оценки).

Определение границ доверительного интервала по доверительной вероятности возможно только в случае известности закона распределения оценки. В свою очередь, закон распределения оценки будет зависеть от закона распределения случайной величины.

Ограничимся рассмотрением частных случаев.

Длянормального распределения случайной величины оценка матожидания будет иметь распределение Стьюдента с n–1 степенями свободы (рис. 1.8). Это означает, что точность оценки вычисляется по формуле

.

Значение t – табличное, есть решение уравнения

,

где – плотность вероятности распределенияСтьюдента; –гамма-функция.

Точность определения СКО для тех же условий:

.

Значение p – табличное, есть решение уравнения

,

где– плотность вероятности распределенияПирсона (рис. 1.9)

Границы доверительного интервала дисперсии равны квадратам границ интервала СКО.

П р и м е р. В результате испытаний были получены 10 значений случайной величины:

0,5

3,8

–0,8

2,7

3,8

5,9

0,5

2,2

4,0

3,4

Предполагаем нормальное распределение.

Находим оценку матожидания и оценку дисперсии

= 0,1( 20,5+23,8–0,8+2,7+5,9+2,2+4,0+3,4 ) = 2,6;

= [(0,5–2,6)²2 + (3,8–2,6)²2 +

+ (–0,8–2,6)² + … ] = 4,102.

Задаемся доверительной вероятностью  = 0,95.

По таблицам находим t(  = 0,95; k = n–1 = 9) = 2.262 и p( = 0,95; k = = n–1 = 9) = 0.65.

Точность определения матожидания

= =1,45.

Точность определения СКО

= = 0,652,03 =2,68.

Доверительный интервал матожидания

от 2,6–1,45 = 1,15 до 2,6+1,45 = 4,05.

Доверительный интервал СКО

от 2,03–2,68 = 0 до 2,03+2,68 = 4,71.

Доверительный интервал дисперсии

от 0 до 4,71² = 22,2.

О т в е т.С точностью не менее 95 %, матожидание данной выборки находится между 1,15 и 4,05; дисперсия находится между 0 и 22,2.

Для экспоненциального распределения с плотностью вероят- ности

.

интервальная оценка параметра  задается отдельно нижней и верхней границами:

, ,

где– точечная оценка параметра распределения (среднее значение);n – число наблюдений; – квантиль¹ распределения Пирсона (рис. 1.10). Находится решением уравнения

.

Значения квантилей табулированы и приводятся в таблицах.

Ч а с т ь II

ОСНОВЫ

ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ РЭА

Глава 1. Основные понятия

и определения

Состояния аппаратуры

Исправное – состояние аппаратуры, при котором она соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией. Противоположное состояние – неисправное.

Работоспособное – состояние аппаратуры, при котором она способна выполнять заданные функции, сохраняя значения заданных параметров в пределах, установленных нормативно-технической документацией. РЭА может быть неисправной, но работоспособной. Противоположное состояние – неработоспособное.

Предельным называется состояние, при котором дальнейшая эксплуатация РЭА должна быть прекращена. Признаки предельного состояния устанавливаются нормативно-технической документацией. Причины наступления предельного состояния следующие:

• неустранимое нарушение требований безопасности,

• неустранимый уход заданных параметров за установленные пределы,

• неустранимое снижение эффективности эксплуатации ниже допустимой.

Эксплуатация – совокупность работ и организационных мероприятий по поддержанию РЭА в исправном или работоспособном состоянии.