Глава 2. Расчет основных показателей надежности
Основные показатели
p(t) – вероятность безотказной работы,
q(t) – вероятность отказа,
(t) – интенсивность отказов,
f(t) – плотность распределения вероятности отказов,
Tср – средняя наработка до отказа.
2.1. Надежность при постоянных отказах
Расчетные соотношения
(t)
=
= const
,
Tср = 1/ f(t) = exp(– t),
p(t) = exp(– t) q(t) = 1 – p(t).
Задача № 2.1.1
Как изменится надежность аппарата через 2000 ч, если предположить, что имеет место экспоненциальный закон распределения времени наступления отказа:
.
Решение
Интенсивность отказов = 10–3 1/ч не зависит от времени, следовательно, надежность аппарата не изменяется.
Задача № 2.1.2
Аппарат состоит из четырех блоков, средняя наработка на отказ которых составляет Tср1 = 1000 ч, Tср2 = 2000 ч, Tср3 = 3000 ч, Tср3 = 4000 ч. Требуется найти среднюю наработку на отказ аппарата в целом.
Решение
Суммарная интенсивность отказов
=
= 0,00208333 1/ч.
Средняя
наработка аппарата
= 408 ч.
Ответ: 408 ч.
Задача № 2.1.3
Один аппарат состоит из пяти блоков со средней наработкой на отказ по 5000 ч. Другой аппарат состоит из двух блоков со средней наработкой на отказ 4000 ч. Какой из аппаратов надежнее?
Решение
Суммарная интенсивность отказов первого аппарата
=
5 / 5000 = 0,001 ч–1.
Суммарная интенсивность отказов второго аппарата
=
2 / 4000 = 0,0005 ч–1,
1 > 2.
О т в е т. Второй аппарат надежнее.
Задача № 2.1.4
Предсказать значение вероятности отказа в момент t = 2000 ч, если к моменту t = 200 ч вероятность безотказной работы составляла 95 %.
Решение
Поскольку изменение интенсивности во времени невозможно определить, предполагаем интенсивность постоянной.
p(t)
= e–t,
откуда
.
Для момента времени t = 200 ч
=
–0,005
(–0,0513) = 0,0002565 ч–1.
Вероятность отказа
q(2000) = 1 – exp( – 2000 ) = 0,401.
Ответ: 40,1 %.
2.2. Надежность при изменении интенсивности во времени
Расчетные соотношения
p(t) = 1 – q(t), q(t) = 1 – p(t),
f(t) = q´(t) = –p´(t) = (t)p(t), (t) = –p´(t)/p(t) = q´(t)/(1–q(t)),
,
,
,
,
.
Задача № 2.2.1
Найти плотность распределения вероятности для заданных интенсивностей:
а) (t) = a; б) (t) = at; в) (t) = a/(t + b); г) (t) = at + b.
Решение
Из
соотношений f(t)
= (t)p(t)
и
получаем:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
З а д а ч а № 2.2.2
Найти значение вероятности безотказной работы в момент Tср для интенсивностей, изменяющихся во времени, как в условии предыдущей задачи.
Решение
,
где
.
Находим p(t):
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
Интегрируя p(t), получаем:
а)
;
б)
=
;
в)
=
=
г)
интеграл
аналитически взять сложно, но численно
получить значение можно, нужно лишь
задать значения параметров. Так для a
= 10–4,
b
= 10–3
Tср
= 116.