Глава 3. Оценка показателей

надежности

по экспериментальным данным

3.1. Точечные оценки показателей надежности

по экспериментальным данным

Расчетные соотношения

, ,

где n – число отказов на интервале t = ( t_к – t₀ ).

, , ,

где k_i – число отказов за t_i. = 1, если.

,

где R_i = N – n_i–1 – число исправных элементов на начало интервала.

– справедливо только при .

В пределах одного и того же интервала времени оценка интенсивности отказов есть поток отказов на единицу изделия .

Задача № 3.1.1

На последнем 200-часовом интервале времени испытаний по плану «Б» был зафиксирован один отказ из пяти изделий. Определить, сколько изделий было поставлено на испытания, если за 10 интервалов среднее значение интенсивности практически не изменялось. Найти вероятность безотказной работы для момента времени T_ср.

Решение

Найдем интенсивность отказов по данным за последний интервал времени:

[1/ч].

Выведем формулу вычисления отказов в предыдущих интервалах времени. Число годных изделий на начало i-го интервала есть сумма числа годных к последующему интервалу с количеством отказавших в текущем:

.

Подставим в формулу вычисления  и выразим из нее k_i:

,

,

.

Таким образом, итерационный процесс предполагает вычисление сперва k_i, затем R_i для i от n – 1 до 1.

Чтобы вычислить вероятность безотказной работы по формуле

,

за N можно будет взять найденное R₁, и нужно найти число отказов с начала испытания:

.

Результаты расчетов:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	7,451	5,96	4,768	3,815	3,052	2,441	1,953	1,563	1,25	1
R	37,253	29,802	23,842	19,073	15,259	12,207	9,766	7,813	6,25	5
n	7,451	13,411	18,179	21,994	25,046	27,487	29,44	31,003	32,253	33,253
p	0,8	0,64	0,512	0,41	0,328	0,262	0,21	0,168	0,134	0,107
ti	200	400	600	800	1000	1200	1400	1600	1800	2000

Вычисление T_ср по формуле

914,1 [ч], при p₀ = 1 – 0/N = 1,0

дает результат с большой погрешностью, поскольку имеющиеся 10 ин-тервалов времени не перекрывают весь диапазон от 0 до  (не все изделия отказали). Но поскольку интенсивность отказов постоянна, то

T_ср = 1/ = 1 / 0,001 = 1000 ч.

Ответ: N  37, p(1000)  33 %.

3.2. Интервальные оценки по экспериментальным данным

Расчетные соотношения

Границы доверительных интервалов оценок параметра экспоненциального распределения, матожидания и дисперсии нормального распределения определяются исходя из объема выборки и заданной доверительной вероятности  (надежность оценки):

, ,

, ,

, ,

, ,

где – квантиль распределения Пирсона;t и p – коэффициенты Стьюдента и Пирсона, определяемые таблично; – точечная оценка матожидания;– точечная оценка дисперсии;– среднее значение интенсивности.

Задача № 3.2.1

На входном контроле проводились замеры сопротивлений номиналом 1 кОм с теоретическим СКО 50 Ом. Было сделано две выборки по 7 сопротивлений. Оценить с вероятностью 90 % матожидание и СКО значения сопротивления по каждой из выборок.

I выборка, Ом	1027	998	1018	1036	1025	1022	1053
II выборка, Ом	900	983	945	1077	1058	962	938

Решение

По формуле находимm₁ = 1025,57 Ом, m₂ = 980,4 Ом.

По формуле находим₁ = 282,3 Ом², ₂ = 4202,3 Ом².

Находим по таблицам П3, П4 для  = 0,9 и степени свободы 6 значения t = 1,943 и p = 0,623.

Точность определения матожидания :

_m1 = 12,34 Ом, _m2 = 47,6 Ом.

Точность определения СКО :

_1 = 10,47 Ом, _2 = 40,4 Ом.

Вычисляем границы доверительных интервалов:

m_н1 = 1025,57 – 12,34 = 1013,23 Ом,

m_в1 = 1025,57 + 12,34 = 1037,91 Ом,

m_н2 = 980,4 – 47,6 = 932,8 Ом,

m_в2 = 980,4 + 47,6 = 1028,0 Ом,

= 6,33 Ом,

= 27,27 Ом,

= 24,4 Ом,

= 105,2 Ом.

В ы в о д ы: 1 кОм < m_н1 < m_в1; _н1 < _в1 < 50 Ом; m_н2 < 1кОм < m_в2; _н2 < 50 Ом < _в2: первая выборка из тех 10 %, когда интервалы не накрывают генеральное значение.

Задача № 3.2.2

На испытания по плану [30, Б, 10] были зафиксированы отказы при наработке 623, 715, 752, 1031, 2147, 2638, 3382, 4216, 4420 и 5076 часов. Оценить интенсивность отказов партии с доверительной вероятностью 95 %.

Решение

По плану на испытание поставлено 30 изделий без замены до k = 10 отказов. Суммарная наработка складывается из зафиксированной наработки отказавших изделий _i и наработки остальных 30 – 10 = 20 изделий, равной продолжительности испытания

t_ = 507620 + = 101 520 + 25000 = 126 520 ч.

Выборочная (точечная) оценка интенсивности

= 79,0410^–6 1/ч.

Степень свободы для квантилей Хи-квадрат = 2k = 20

== 42,910^–6 1/ч,

== 124,110^–6 1/ч.

Ответ. С вероятностью 95 %,  партии в пределах от 42,910^–6 до 124,110^–6 1/ч.