Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события A, которое может наступить только при условии появления одного из событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из H событий на соответствующую условную вероятность события A:

.

Приведенная формула называется формулой полной вероятности, а события H – гипотезами.

П р и м е р. Вероятность замыкания витков обмотки трансформатора P(H₁) = 0.01, вероятность пробоя диодного моста P(H₂) = 0.02. Вероятность события A «выход из строя микросхемы», если испортится трансформатор P(A|H₁) = 0.9, а если испортится диодный мост P(A|H₂) = 0.95. Вероятность выхода из строя микросхемы P(A) = P(H₁) P(A|H₁) + P(H₂) P(A|H₂) = = 0.010.9 + 0.020.95 = 0.028.

Формулой Байеса, или теоремой гипотез, называется формула

.

П р и м е р. При тех же данных: P(H₁) = 0.01 – вероятность замыкания витков обмотки трансформатора, P(H₂) = 0.02 – вероятность пробоя диодного моста, P(A|H₁) = 0.9 – вероятность события A «выход из строя микросхемы», если испортится трансформатор, и P(A|H₂) = 0.95 – если испортится диодный мост. Вероятность того, что если микросхема сгорела, то виноват в этом трансформатор P(H₁| A) = P(H₁) P(A|H₁)/P(A) = 0.010.9/0.028  0.32. Вероятность того, что виноват диодный мост P(H₂|A) = P(H₂) P(A|H₂)/P(A) = = 0.020.95 / 0.028  0.68.

Случайные величины

Случайной называется величина (X), которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение (x), неизвестное заранее, но обязательно одно. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Например, время отказа есть непрерывная случайная величина, а количество отказов за фиксированное время – дискретная случайная величина.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что случайная величина примет это значение.

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция g(x), задающая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: g(x) = = P(X < x). Причем, 0  g(x)  1, g(x) – неубывающая функция, для любых а < b: P(a  X < b) = g(b) – g(a).

Пр и м е р.Вероятность отказа аппарата или элемента в течение первых секунд после начала эксплуатации равна 0. С продолжением эксплуатации вероятность отказа повышается. Если аппарат эксплуатировать бесконечно, ве-роятность отказа повысится до 1. Функция q(t) (рис. 1.3) показывает вероятность возникновения отказа ДО указанного момента времени t.

Случайная величина X здесь – время отказа, возможное значение x – это t.

Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей называется первая производная интегральной функции распределения f(x) = g(x). Иногда f(x) называют плотностью или функцией плотности распределения вероятности. График дифференциальной функции распределения называют кривой распределения.

Для дифференциальной функции распределения справедливо:

f(x) > 0, ,.

Для интегральной и дифференциальной функций распределения справедливо:

.

Оценка плотности распределения по конечной выборке (конечному числу значений случайной величины) есть гистограмма, отражающая количество значений случайной величины, попавшее в элементарный интервал гистограммы x, отнесенного к общему объему выборки N и величине x (рис. 1.4). Оценка будет тем ближе к истинному значению, чем меньше интервал x  0 и больше объем выборки N  .

Конкретные законы распределения (нормальный, экспоненциальный, Вейбулла, Пирсона) будут рассмотрены при описании параметров надежности.