Приложения Основные законы распределения случайной величины
Нормальный закон распределения
,
с
параметрами μ и σ. Для этого закона
;
;
;
.
В частном случае, при µ = 0 и2
= 1, нормальный
закон называют гауссовым,
а случайную величину – стандартной.
2 – распределение Пирсона
;
,
где k – параметр распределения = число степеней свободы:
,
где U – стандартные нормальные случайные величины.
Распределение Стьюдента1
,
,
–––––––––––––––––––––
1Стьюдент — псевдоним английского статистика В. Госсета, исследовавшего
это распределение.
где
k
– параметр
распределения, называемый числом
степеней свободы;
–
гамма-функция;U
и 2
– независимы.
При
распределение Стьюдента переходит в
нормальное
с μ = 0 и σ = 1.
F – распределение Фишера2
,
;
.
Параметрами этого распределения являются k и l.
Распределение Вейбулла
,
,
для x 0; где a, b – параметры распределения.
Показательное распределение
Частный случай распределения Вейбулла при b = 1.
.
Распределение Рэлея
Частный случай распределения Вейбулла при b = 2
,
.
Распределение Пуассона
–
вероятность появления k
событий,
где k = 0, 1, 2, … – дискретная случайная величина; – параметр распределения.
Физический смысл параметра – это интенсивность, вычисляемая как произведение вероятности появления события p на количество испытаний n или на максимально возможное количество появлений события за время n(t). Формула Пуассона является приближенной формулой вычисления вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли при условии p 0, n , np = const (закон редких событий). На практике формулу можно применять при p < 0,1; np(1 – p) < 10.
Интенсивность численно равна матожиданию и дисперсии = = 2.
Т а б л и ц а П1
Интенсивности отказов некоторых изделий
|
Вид изделия |
Интенсивность, ,10–61/ч |
Среднее время, Tср= 1/, тыс. ч | ||||
|
среднее |
min |
max |
min |
среднее |
max | |
|
Аккумулятор |
7,2 |
0,35 |
19 |
53 |
139 |
2 857 |
|
Антенна |
0,36 |
0,2 |
3,25 |
308 |
2 778 |
5 000 |
|
Батарейки |
30 |
10 |
300 |
3 |
33 |
100 |
|
Варистор |
0,10 |
|
|
|
10 000 |
|
|
Вентилятор |
0,295 |
0,21 |
9 |
111 |
3 390 |
4 762 |
|
Выключатель (тумблер) |
0,06 |
0,015 |
0,123 |
8 130 |
16 667 |
66 667 |
|
Выпрямитель |
0,6 |
0,2 |
0,75 |
1 333 |
1 667 |
5 000 |
П р о д о л ж е н и е т а б л. П1
|
Вид изделия |
Интенсивность, ,10–61/ч |
Среднее время, Tср= 1/, тыс. ч | ||||
|
среднее |
min |
max |
min |
среднее |
max | |
|
Гнездо |
0,01 |
0,002 |
0,02 |
50 000 |
100 000 |
500 000 |
|
Головка магнитная |
0,18 |
0,13 |
0,26 |
3 846 |
5 556 |
7 692 |
|
Двигатель вентилятора |
2,25 |
0,05 |
5,5 |
182 |
444 |
20 000 |
|
Двигатель шаговый |
0,37 |
0,22 |
0,71 |
1 408 |
2 703 |
4 545 |
|
Диод германиевый |
0,05 |
|
|
|
20 000 |
|
|
Диод кремниевый |
0,1 |
|
|
|
10 000 |
|
|
Дроссель |
0,175 |
0,07 |
2,22 |
450 |
5 714 |
14 286 |
|
Жидкокристаллический индикатор |
2,0 |
|
|
|
500 |
|
|
Зажим |
0,005 |
0,003 |
0,009 |
111 111 |
200 000 |
333 333 |
|
Зуммер |
0,6 |
0,05 |
1,3 |
769 |
1 667 |
20 000 |
|
Индуктивность |
0,02 |
0,011 |
0,031 |
32 258 |
50 000 |
90 909 |
|
Кабель |
0,475 |
0,002 |
2,2 |
455 |
2 105 |
500 000 |
|
Кварцевый резонатор |
0,03 |
0,025 |
0,6 |
1 667 |
33 333 |
40 000 |
|
Кварцевый генератор |
3,5 |
|
|
|
286 |
|
|
Кинескоп (ЭЛТ) |
1,65 |
0,94 |
3,1 |
323 |
606 |
1 064 |
|
Кнопка |
0,7 |
0,043 |
0,11 |
9 091 |
1 429 |
23 256 |
|
Конденсатор |
0,1 |
0,001 |
2,385 |
419 |
10 000 |
1 000 000 |
|
Конденсатор керами- ческий |
0,02 |
|
|
|
50 000 |
|
|
Конденсатор электролитический |
0,35 |
0,03 |
0,513 |
1 949 |
2 857 |
33 333 |
|
Крепеж монтажный |
0,012 |
0,003 |
0,55 |
1 818 |
83 333 |
333 333 |
|
Лампа накаливания |
8 |
5 |
32 |
31 |
125 |
200 |
|
Лампа неоновая |
10,25 |
4,5 |
18,8 |
53 |
98 |
222 |
П р о д о л ж е н и е т а б л. П1
|
Вид изделия |
Интенсивность, ,10–61/ч |
Среднее время, Tср= 1/, тыс. ч | ||||
|
среднее |
min |
max |
min |
среднее |
max | |
|
Микропереключатель |
0,25 |
0,09 |
0,5 |
2 000 |
4 000 |
11 111 |
|
Микросхема цифровая биполярная |
0,1 |
|
|
|
10 000 |
|
|
Микросхема цифровая МОП |
0,3 |
|
|
|
3 333 |
|
|
Микросхема аналоговая |
0,8 |
|
|
|
1 250 |
|
|
Оптопара транзисторная |
0,5 |
|
|
|
2 000 |
|
|
Оптопара диодная |
0,2 |
|
|
|
5 000 |
|
|
Оптопара тиристорная |
1,0 |
|
|
|
1 000 |
|
|
Оптопара резисторная |
1,0 |
|
|
|
1 000 |
|
|
Пассик |
3,875 |
0,142 |
15 |
67 |
258 |
7 042 |
|
Паяное соединение |
0,004 |
0,0002 |
0,01 |
100 000 |
250 000 |
5 000 000 |
|
Переключатель |
0,5 |
0,25 |
1 |
1 000 |
2 000 |
4 000 |
|
Подшипник скольжения |
0,22 |
0,008 |
0,42 |
2 381 |
4 545 |
125 000 |
|
Предохранитель плавкий |
0,5 |
0,3 |
0,82 |
1 220 |
2 000 |
3 333 |
|
Преобразователь |
15 |
7 |
52,2 |
19 |
67 |
143 |
|
Провод соединительный |
0,015 |
0,008 |
0,12 |
8 333 |
66 667 |
125 000 |
|
Пружина возвратная |
0,012 |
0,001 |
0,022 |
45 455 |
83 333 |
1 000 000 |
|
Разъем штепсельный |
0,062 |
0,025 |
1,11 |
901 |
16 129 |
40 000 |
|
Резистор пост. металло- пленочный |
0,008 |
|
|
|
125 000 |
|
|
Резистор постоянный объемный |
0,005 |
|
|
|
200 000 |
|
|
Резистор переменный |
0,026 |
0,02 |
0,5 |
2 000 |
38 462 |
50 000 |
|
Резистор прочие |
0,02 |
|
|
|
50 000 |
|
|
Реле электромагнитное |
0,25 |
0,03 |
0,5 |
2 000 |
4 000 |
33 333 |
|
Стабилитрон |
0,1 |
|
|
|
10 000 |
|
О к о н ч а н и е т а б л. П1
|
Вид изделия |
Интенсивность, ,10–61/ч |
Среднее время, Tср = 1/, тыс. ч | ||||
|
среднее |
min |
max |
min |
среднее |
max | |
|
Терморезистор |
0,161 |
0,114 |
0,261 |
3 831 |
6 211 |
8 772 |
|
Тиристор |
0,5 |
|
|
|
2 000 |
|
|
Транзистор германиевый |
0,3 |
0,04 |
1,91 |
524 |
3 333 |
25 000 |
|
Транзистор кремниевый |
0,5 |
0,27 |
1,44 |
694 |
2 000 |
3 704 |
|
Транзистор полевой |
0,3 |
|
|
|
3 333 |
|
|
Трансформатор импуль- сный |
0,05 |
|
|
|
20 000 |
|
|
Трансформатор силовой |
0,3 |
|
|
|
3 333 |
|
|
Трансформатор строчный |
1,5 |
|
|
|
667 |
|
|
Фильтр пьезокерами- ческий |
0,2 |
|
|
|
5 000 |
|
|
Шайба |
0,001 |
0,0005 |
0,015 |
66 667 |
1 000 000 |
2 000 000 |
|
Шарикоподшипник |
0,875 |
0,035 |
1,72 |
581 |
1 143 |
28 571 |
|
Шестерня |
0,2 |
0,11 |
0,36 |
2 778 |
5 000 |
9 091 |
|
Щетки электрические |
0,1 |
0,04 |
1,11 |
901 |
10 000 |
25 000 |
|
Электровакуумные приборы |
3 |
0,1 |
34,5 |
29 |
333 |
10 000 |
Т а б л и ц а П2