Глава 4. Расчет надежности при постепенных отказах

Расчетные соотношения

Если X₁, X₂, …, X_n – случайные величины – значения параметров компонентов, а Y – значение параметра системы, причем Y = (X₁, X₂, …, X_n) – функция связи, матожидание и дисперсия значения функции вычисляются по соотношениям

,

,

где – частная производная функции по переменнойx_i, взятая в точке матожидания (при x = m_x).

Для коррелированных случайных величин в формулу дисперсии добавляется коэффициент корреляции (корреляционный момент) :

Задача № 4.1

Оценить количество брака в партии резисторов с сопротивлением 20 кОм 15 %, если оценки матожидания m_R = 21 кОм, среднеквадратического отклонения _R = 2 кОм.

Решение

Пределы допуска r_min = 20 кОм – 15 % = 17 кОм, r_max = 20 кОм + + 15 % = 23 кОм. Формулы плотности и функции распределения для нормального закона:

,

,

для заданных матожидания и дисперсии.

Вероятность брака (рис. 4.3):

.

Рис. 4.3

Ответ: 18.1 %.

Задача № 4.2

Оценить отклонение эквивалентного сопротивления схемы (рис. 4.4) от номинала 40 кОм 15 %, если оценки матожиданий и среднеквадратических отклонений компонентов:

	mR, кОм	R, кОм
R1	21	2
R2	29	3
R3	62	6

Решение

Пределы допуска r_min= 40 кОм – 15 % = 34 кОм, r_max = 40 кОм + + 15 % = 46 кОм.

Предполагаем распределение значения эквивалентного сопротивления нормальным.

Соотношение связи

.

Матожидание эквивалентного сопротивления:

= 40,758 кОм.

Частные производные:

, ,.

Значения частных производных, при R₁ = m₁, R₂ = m₂, R₃ = m₃, кОм:

, = 0,464,= 0,102.

Дисперсия эквивалентного сопротивления, [кОм²]:

=

= 12² + 0,464²3² + 0,102²6² = 6,31.

Вероятность брака:

= 0,022.

Ответ: 2,2 %.

Задача № 4.3

Вычислить ресурс резистивного делителя напряжения (рис. 4.5), когда по критерию отклонения выходного напряжения от номинала на 18,6 % (изменение коэффициента деления0,11) интенсивность отказа  начнет превышать уровень 10^–3 1/ч, если сопротивления резисторов подвержены старению:

R(t) = R₀ + bt.

	R0		b, Ом/ч
	mR, кОм	R, кОм
R1	4,3	0,3	0,4
R2	6,2	0,4	0,025

Решение

Коэффициент деления:

.

Матожидание коэффициента деления:

.

Значения частных производных:

,

.

Дисперсия коэффициента деления:

.

Функция плотности распределения в зависимости от времени и значения

.

Предельные значения коэффициента деления (рис. 4.6):

K_min = m_K(0) – 0,11 = 0,59 – 0,11 = 0,48,

K_max = m_K(0) + 0,11 = 0,59 + 0,11 = 0,7.

Вероятность безотказной работы:

.

Рис. 4.6

Когда интенсивность превышения пороговых значений меняется медленно (можно считать постоянной на коротких интервалах времени), вероятность безотказной работы:

,

в этом случае интенсивность выражается как

.

Чтобы найти время, при котором интенсивность вырастет до 10^–3, нужно решить уравнение (t) = 10^–3. Аналитическое решение такого уравнения слишком сложно, в данном случае предпочтительно воспользоваться численными методами нахождения решений.

Ответ: 7722,7 ч.

Задача № 4.4

Определить коэффициент корреляции r между коэффициентом обратной связи  и коэффициентом усиления одного каскада K двухкаскадного усилителя с общей отрицательной обратной связью, если одинаковые каскады имеют среднее значение коэффициента усиления m_K = 10 со среднеквадратическим отклонением _K = 1,0, среднее значение коэффициента обратной связи m_ = 0,09 со среднеквадратическим отклонением _ = 0,002, а коэффициент усиления схемы K_c имеет среднеквадратическое отклонение _C = 0,2, и вычисляется по формуле

.

Решение

Дисперсия с учетом корреляции для двух случайных величин K и  вычисляется по формуле

.

Частные производные коэффициента усиления схемы

; ,

вычисленные по средним значениям

= 0,2; = –100.

Значение коэффициента корреляции

=

= = 0,5.

Увеличение взаимосвязи между коэффициентом усиления каскада и коэффициентом обратной связи приводит с уменьшению разброса значения коэффициента усиления схемы. Причем, среднеквадратическое отклонение уменьшается квадратично, а дисперсия – линейно (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Ответ: 0,5.