Задачник по физике

УДК 535 (075)

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры общей и специальной физики Обнинского института атомной энергетики ТихоненкоА.В.

Научный редактор: Беспалов Б.Б. Технический редактор: Тарасова Н.А. Компьютерная графика: Тарасова Н.А.

БурмистровВ.В.

Методика решения задач по курсу «Механика и молекулярная физика для студентов инженерных специальностей. Методические указания и контрольные задания»: Учеб. пособие для вузов/В.В. Бурмистров – 3-е изд.,

стер. – К.: Риза, 2006. – 216 с.: ил.

Пособие «Методика решения задач по курсу «Механика и

молекулярная физика для студентов инженерных специальностей. Методические указания и контрольные задания» написано как дополнение одноименного учебника автора; на примере большого количества разнообразных задач автором реализована новая полностью формализованная

«последовательная методика единого физико-математического подхода».

Предназначено для студентов ВУЗов и преподавателей, специализирующихся в области механики, молекулярной физики и термодинамики.

Оригинал-макет данного издания является собственностью автора, и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия автора запрещается и преследуется по закону.

- 2 -

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие методические указания являются дополнением курса «Классическая механика и основы молекулярной физики и термодинамики для студентов инженерных специальностей», читаемого автором студентам инженерных специальностей в Коломенском институте МГОУ. Цель данного учебнометодического пособия – оказать помощь студентам инженернотехнических специальностей высших учебных заведений в изучении курса физики, в данном случае – через решение разнообразных задач по предлагаемой автором новой

последовательной методике единого физико-математического подхода, которая является полностью формализованной. Это тем более злободневно, если учесть, что времени, отводимого на практические занятия в программе обучения, с каждым годом становится все меньше и меньше.

Предлагаемый материал в пособии распределен на три раздела: «Классическая механика», «Основы молекулярной физики и термодинамики» и «Свободные незатухающие

колебания и упругие волны. Специальная теория относительности». Для каждого из них даны основные формулы,

примеры решения задач с подробным их оформлением и

контрольные задания. Кроме того, в пособии представлены

особенности методики решения задач по рассматриваемым разделам, подробные методические указания и таблица «Важнейших физических констант», которой приходится пользоваться при решении большинства предлагаемых контрольных задач.

Предлагаемый материал содержит «усеченные» решения и

числовые ответы на все контрольные задачи. Прежде всего,

студенту надлежит внимательно ознакомиться с методикой решения задач и методическими указаниями к их решению (§§ 1,2,3); затем отыскать в пособии свои контрольные задачи, так как нумерация задач здесь намеренно отличается от нумерации контрольных задач. В так называемых «усеченных» решениях отсутствуют какие-либо разделы, задачи имеют сквозную нумерацию.

- 3 -

Решения задач являются усеченными, так как в строгом соответствии с разработанной автором полностью формализованной методикой в каждой задаче присутствуют лишь 1-й, 2-й (если рисунок необходим в конкретной задаче), 4-й и 9-й условные пункты решения. Таким образом, студенту оставлен достаточно широкий простор для размышления в виде предложения дополнить решение каждой задачи пунктами 3-м, 5- м, 6-м, 7-м и 8-м. Необходимо заметить, что для успешного решения любой задачи потребуется разобраться в обозначениях, имеющихся в условии задачи и принятых автором на графическом сопровождении задачи (какие-либо словесные пояснения рисунков намеренно отсутствуют!). И конечно же, студенту придется приложить массу усилий для решения систем уравнений

играмотного оформления своих задач согласно «указаниям к решению задач», изложенным в задачнике в §3.

Настоящее пособие может быть использовано как студентами дневных инженерно-технических специальностей, так

истудентами-заочниками. Последним предлагаемое пособие может оказать особую помощь, так как в учебных планах студентов-заочников практические занятия как вид аудиторных занятий вовсе отсутствуют.

- 4 -

§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ МЕТОДИКА ЕДИНОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Критический обзор большого числа задачников по общему курсу физики, выпущенных за последние 40 лет различными авторами, позволяет сделать однозначное заключение об отсутствии какого-либо единого подхода к решению однотипных задач у различных авторов. Более того, один и тот же автор в рамках своего задачника не выдерживает какой-либо единой методики, применимой к решению задач любого раздела общего курса физики.

Подобная ситуация сильно осложняет положение всем начинающим, только что вступившим на путь познания законов мироздания и природы. Ведь за теорией должна неотступно следовать практика. А вот при решении однотипных задач у разных авторов и обнаруживается множество подходов. Безусловно, нельзя отбрасывать возможность решения одной задачи различными способами. Речь идет о необходимости существования единого подхода, понятного всем и применимого к любому разделу общего курса физики. Его-то в настоящее время и не удается обнаружить в качестве необходимого условия получения результата.

В не лучшей ситуации находятся абитуриенты и студенты младших курсов технических вузов. Абитуриенты, не зная требований, предъявляемых тем или иным высшим учебным заведением на вступительных экзаменах, вынуждены постигать неписаные правила поступления примитивным «натаскиванием» материала или активным общением с репетиторами конкретного вуза. Студенты же младших курсов технических вузов, где на изучение объемной программы общего курса физики отводится с каждым годом все меньше и меньше аудиторного времени, вынуждены «переваривать» различные подходы решения задач от семестра к семестру, преподносимые разными преподавателями. Результат освоения ими общего курса физики – недоумение и разочарование в предмете или в преподавателях.

Автор настоящей работы предпринял попытку создать полностью формализованный подход, применимый к решению задач любого раздела курса общей физики. Новый подход особенно актуален в момент широкого внедрения в практику единого государственного экзамена, когда мышление абитуриента должно быть «более отточенным», четко ориентированным на получение конечного результата. Это предполагает наличие выверенной методики с конкретными этапами решения. В

результате, получилась последовательная методика единого физикоматематического подхода.

Основная идея предлагаемой методики заключается в разделении решения на три этапа: физический, математический и физико-

математический. Причем, первый и второй этапы независимы друг от друга и от третьего этапа. Прямо противоположное можно утверждать о третьем этапе – он полностью зависим как от физического, так и

- 5 -

математического этапов. Ни один из разделов какого-либо этапа нельзя упразднить или поменять последовательность их применения. Отсюда название теории – последовательная методика единого физикоматематического подхода.

Физический этап начинается с первого раздела − краткой записи исходных данных и перевода физических величин в одну систему единиц (в нашем случае предпочтение отдается международной системе, то есть СИ). Во втором разделе этого этапа необходимо сделать детальный эскиз (чертеж) с нанесением на нем всех исходных данных и сохранением уже принятых в условии задачи обозначений. Особо подчеркнем, что подавляющее большинство физических задач (в частности, 99% задач по кинематике) требуют наличия эскиза задачи, а сам этот раздел решения является крайне важным для более глубокого осмысления содержания задачи. Можно утверждать больше: 50% успеха решения задачи в целом зависит от грамотного выполнения этого раздела физического этапа.

В третьем разделе физического этапа решения задачи необходимо проделать детальный предварительный анализ условия задачи, обозначив фундаментальные законы, теоретические предпосылки, другие, пусть даже

выстраиваются в порядке их значимости. Сначала необходимо определить принадлежность задачи к тому или иному разделу физики, затем – фундаментальные законы, как правило, связанные с именем того или иного ученого, далее – конкретные правила либо принципы, с помощью которых удастся разрешить те или иные вопросы для вычисления искомой физической величины. Таким образом, в этом разделе должен быть намечен конкретный алгоритм описания условий задачи на языке математических формул.

систему математических уравнений. Желательно сопроводить краткими,

но исчерпывающими пояснениями каждое уравнение будущей системы. При этом совершенно необязательно, чтобы все уравнения были, как говорят, «сцеплены». В полученной системе могут присутствовать подсистемы уравнений, и это даже облегчает дальнейшее решение задачи. Главное заключается в том, чтобы количество уравнений системы строго соответствовало количеству неизвестных переменных. Если такую систему удается получить, то первый этап решения задачи – физический – считается завершенным. В этом случае говорят, что физическая постановка задачи осуществлена.

Следует оговориться, что полученная система уравнений может быть не замкнута, когда количество неизвестных, как правило, на одну единицу превышает количество уравнений, а все условия задачи исчерпаны. В этом случае, как правило, среди рассматриваемых уравнений присутствуют

- 6 -

линейно-зависимые уравнения, или задача не доопределена, то есть некорректно поставлена. Сложность ситуации заключается в том, чтобы «усмотреть» линейно-зависимые уравнения и те неизвестные величины, относительно которых полученная система не может быть разрешена. Здесь на помощь могут прийти математические знания и опыт решения физических задач. Следовательно, и в таком сценарии физический этап решения задачи следует считать завершенным, если исключить некорректную постановку задачи.

Математический этап состоит из одного, но очень емкого раздела. Начинается он с анализа системы уравнений, поиска кратчайшего пути одновременного уменьшения количества уравнений и неизвестных. Здесь очень важна культура решения систем уравнений, которая должна взращиваться с младших классов общеобразовательной школы на уроках математики. Подчеркнем, что все вычисления производятся в общем виде, следовательно, данный этап совершенно независим от физического этапа решения задачи и тем более – физико-математического. Завершается математический этап получением искомой величины в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи, включая различные константы. Таким способом получают аналитическое решение задачи.

На математическом этапе не завершается решение задачи. После получения формулы для расчета искомой величины необходимо перейти к

физико-математическому этапу решения задачи. На этом этапе осуществляется проверка правильности конечного результата. В первом разделе этого этапа проверяют размерность (единицу измерения) искомой величины. Следует заметить, что в этом разделе достаточно проверить хотя бы единицу измерения (необязательно размерность), если ожидаемая единица измерения искомой величины не вызывает сомнений, и хорошо известны соотношения между другими единицами измерений, входящими в конечную формулу. Таким образом, доходить «до корней» совсем необязательно. При этом в правую часть полученной формулы вместо символов величин следует подставить обозначения единиц этих величин. Очевидно, с этой целью все величины, фигурирующие в задаче, предварительно, в первом разделе физического этапа, были выражены в одной системе единиц. Затем с этими единицами измерений необходимо произвести соответствующие действия, иногда длинные преобразования, и убедиться в том, что полученная при этом единица измерения совпадает с единицей измерения искомой величины. Если такого совпадения нет, то это означает, что задача решена неверно; следует вернуться к первым двум этапам и определить источник ошибки, тщательно проверив исходные уравнения и их преобразования. В противном случае, переходят ко второму разделу физико-математического этапа.

Во втором разделе этого этапа проверяют разумность результата.

При этом необходимо произвести анализ решения задачи, то есть применить полученную формулу в различных частных случаях. Для этого требуется отдельные величины, входящие в конечную формулу, устремить

- 7 -

либо к нулю, либо к бесконечности, а, может быть, к π/2 и т.п. Анализ решения должен продемонстрировать полную пригодность конечного результата для частных случаев. Если в каком-то варианте обнаруживается несуразность, то необходимо найти физическое объяснение этому курьезу либо пересмотреть полученное решение, отыскав ошибку в предыдущих этапах решения задачи. Подчеркнем, что очень часто анализ решения помогает не только проверить правильность полученного результата, но и осознать (прочувствовать) фундаментальность физических законов, быстро запомнить многие формулы, а иногда даже предвосхитить решение будущих задач.

Завершается решение задачи третьим разделом физикоматематического этапа, в котором проверяется разумность числового значения полученной величины. С этой целью в конечную формулу вместо буквенных символов величин необходимо подставить их числовые значения, выраженные, как было уже отмечено, в одной системе единиц. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать в стандартном виде: произведение числа А – десятичной дроби с одной значащей цифрой после запятой (1<A<10) – на соответствующую степень основания десять. Окончательный ответ следует, как правило, записывать также в стандартном виде с двумя-тремя значащими цифрами. Полученное в этом разделе число вместе с ранее определенной единицей измерения составляют искомую физическую величину, которую следует сравнить с аналогичными величинами, взятыми из справочника, например. Акцентирование внимания на реальных числовых значениях величин очень полезно для развития физического кругозора и быстрого приобщения к многогранному миру физики. Подавляющее большинство физических задач имеют в условиях задачи реальные числовые значения физических величин.

Необходимо сделать несколько заключительных замечаний прежде, чем перейди к демонстрации применения данной методики на множестве конкретных примеров.

Во-первых, все три этапа решения задачи (восемь разделов) в обязательном порядке присутствуют в каждой задаче, однако не следует думать, что они канонизированы. Следовательно, границы между ними весьма условны, и вовсе не следует сосредотачиваться на безусловном соблюдении формы. Дело, очевидно, состоит в том, что у нас имеется реальная схема, применение которой гарантирует получение результата.

Во-вторых, может сложиться такая ситуация, когда получить аналитическое решение не удается. Тогда полученную систему уравнений решают одним из известных численных методов. В таком случае тем более необходимы перевод всех величин в одну систему единиц и подстановка их числовых значений в соответствующие уравнения системы. В этом случае имеют дело с приведенными уравнениями для величин. Дальнейшее решение, применение математического этапа, сводится к выбору и воплощению того или иного численного или графического метода. На

- 8 -

закон движения единственен, а его применений, даже в рамках одной задачи, может быть множество.

На следующем этапе решения необходимо сделать детальный эскиз с сохранением на нем уже принятых в условии задачи обозначений. Особо подчеркнем, что 99% задач механики требуют приведения эскиза задачи, а сам этот этап решения является крайне важным для более глубокого осмысления смысла задачи. Можно утверждать больше: 50% успеха решения задачи зависит от грамотного выполнения этого этапа решения.

Далее нужно заняться скрупулезным описанием условий задачи на языке математических формул, сначала – в общем виде, то есть записать закон движения, затем – в проекциях на выбранные оси координат для тех или иных моментов времени, то есть применить закон движения. Важно понять, что специально запоминать те или иные формулы, кроме тех, что составляют фундамент того или иного закона, совершенно не нужно. Однако необходимо научиться применять основные законы и фундаментальные понятия, занимаясь «описанием» условий задачи. Крайне важно постараться увидеть даже такие условия, которые в явном виде в тексте задачи не присутствуют. Это относится к характеру движения материальной точки, когда она, например, не испытывает сопротивления воздуха или движется без проскальзывания, а об этом ничего не сказано в тексте задачи. В таких случаях, когда нет специального запрета, мы будем использовать для себя режим наибольшего благоприятствования. Следует также обращать внимание и затем использовать такие малозначительные, на первый взгляд, выражения, как «половина пути», «без начальной скорости», «остаток времени движения» и т.п., которые дают возможность написать недостающие для получения замкнутой системы уравнения.

Заканчивается описательный этап составлением замкнутой системы уравнений, когда количество уравнений в системе равно количеству используемых неизвестных переменных. Однако такое равенство количества уравнений и неизвестных переменных не всегда необходимо и достижимо. Бывают случаи, когда число неизвестных переменных на единицу больше, то есть вроде бы не хватает одного уравнения. Внимательно приглядевшись к уже составленным уравнениям, можно усмотреть линейную зависимость нескольких входящих в систему уравнений. Проблема, таким образом, оказывается надуманной. Очень важно, чтобы все исходные данные раздела «дано» присутствовали в написанной системе уравнений. В этом случае постановку задачу можно считать законченной, а физический этап решения задачи завершенным.

Математический этап решения задачи сводится к решению полученной системы уравнений, обычно линейной или приводящей, в конечном счете, к решению квадратного уравнения. Культура решения систем уравнений во многом определяет эффективность решения физических задач вообще. Мы будем обращать на это внимание при разборе конкретных примеров. Получение в общем виде искомой

- 10 -