Вопросы для самопроверки

1. Какова роль относительных величин в статистике?

2. Как классифицируются относительные величины по их познавательному значению?

3. Какая существует взаимосвязь между относительными величинами?

4. В каких единицах измерения исчисляются относительные величины?

5. В каких целях используются относительные величины структуры и координации? Какая между ними разница?

6. При исчислении каких показателей в отрасли связи используются относительные величины интенсивности?

Тест для самопроверки к теме 3 «Абсолютные и относительные величины»

1. Выбрать правильную формулу, показывающую взаимосвязь между относительными величинами:

2. В чем измеряется относительная величина сравнения:

1. в процентах

2. в коэффициентах

3. в промилях

4. в разах

3. Индекс планового задания равен 104%. Это означает:

1. план перевыполнен на 4%

2. планом предусмотрено увеличение показателя по сравнению с прошлым годом на 4%

3. показатель увеличился по сравнению с прошлым годом на 4%

Тема 4. Средние величины

4.1 Понятие средней величины. Виды средних.

На третьем этапе статистического исследования рассчитываются различного рода статистические показатели. К ним относятся средние величины.

Средняя величина – статистический показатель, который дает обобщающую характеристику изучаемого признака, отражающий его типичные размеры для рассматриваемого объекта наблюдения. В отличии от средней математической величины, которая является величиной отвлеченной, средняя статистическая величина характеризует конкретные общественные явления, например, среднегодовая численность населения, средняя продолжительность жизни населения, средняя заработная плата работников данной отрасли и т.д.

Существуют следующие виды средних:

• средняя арифметическая (простая и взвешенная);

• средняя прогрессивная;

• средняя гармоническая (простая и взвешенная);

• средняя хронологическая;

• средняя геометрическая;

• степенные средние.

Средние величины рассчитываются только по однородным совокупностям, если средние исчисляются для разнотипных явлений, то они теряют реальный смысл.

Средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая рассчитывается как сумма значений, деленное на их количество и в математической форме имеет вид:

где сумма индивидуальных значений величины признакаx;

n – количество индивидуальных значений.

Пример 1. Определить средний возраст работников цеха по следующим данным.

Возраст работников представлен в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Табельный номер работника	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Возраст (лет)	18	25	25	30	42	30	45	18	25	30	25	42

Решение:

Средний возраст работников бригады составит:

Если исходные данные сгруппировать и представить в виде ряда распределения, то используется средняя арифметическая взвешенная, которая имеет следующий вид:

где x – индивидуальное значение признака;

m – количество единиц, имеющих данную величину признака

(частота повторения признака).

Пример 2. На основании данных примера 1 составим распределение работников по возрасту используя дискретную группировку (таблица 4.2) и рассчитаем средний возраст.

Таблица 4.2

Возраст работников (лет) x	Количество работников, m	хm
18 25 30 42 45	2 4 3 2 1	36 100 90 84 45
Итого	12	355

В следующем примере показывается использование средней арифметической взвешенной на примере интервального ряда.

Пример 3. Имеются данные о заработной плате работников цеха. Определить среднюю заработную плату.

Таблица 4.3

Заработная плата, тыс. руб.	Количество работников, m	Середина интервала, x	xm
До 10 10-15 15-20 20-25 25-30 Свыше 30	2 8 15 10 6 4	7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5	15 100 262,5 225 165 130
Итого	45		897,5

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые используются для упрощения расчета средней. Одним из свойств средней арифметической является ее определение по способу моментов. Этот способ можно использовать, если ряд распределения, для которого рассчитывается средняя, составляет арифметическую прогрессию или имеющего равные интервалы.

Расчеты ведутся в следующей последовательности:

1. Находится варианта (А), которая соответствует наибольшей частоте.

2. Определяются новые варианты x для каждой группы по формуле:

где i – величина интервала.

3. Находится новая средняя по формуле:

4. Средняя величина фактического ряда определяется по формуле:

=(4.5)

Пример 4. Имеются данные о количестве посылок, обрабатываемых за год на почтамтах ФГУП. Определить среднее количество обрабатываемых посылок.

Таблица 4.4

Количество обрабатываемых посылок, тыс. ед.	Количество почтамтов
До 120 120-130 130-140 140-150 150-160 Более 160	3 4 7 12 6 2	-3 -2 -1 0 1 2	-9 -8 -7 0 6 4
Итого	34		-14

Решение:

А=145

Среднее количество обрабатываемых посылок:

тыс. ед.

Средняя прогрессивная.

Данная средняя является разновидностью средней арифметической взвешенной. В основном используется для изучения передового опыта.

Методика расчета средней прогрессивной зависит от того какое значение для изучаемого показателя является наилучшим, наибольшее или наименьшее. Если лучшим значением является наибольшее, то сначала по имеющимся данным рассчитывается средняя арифметическая, затем среди значений признаков отыскиваются те, которые оказались больше, чем рассчитанная средняя и среди них определяется новая средняя, которая и будет средней прогрессивной.

Пример 5. Имеется распределение филиалов компании по производительности труда. Найти среднюю прогрессивную.

Таблица 4.5

Производительность труда, тыс. руб.	Количество филиалов, m	Середина интервала, x	xm
50-60 60-70 70-80 80-90 Более 90	1 5 9 4 2	55 65 75 85 95	55 325 675 340 190
Итого	21		1585

Решение:

Находится средняя производительность труда по всем филиалам:

Определяется средняя прогрессивная:

Средняя гармоническая.

Данная средняя хотя и выделяется в особый вид средних, но является видоизмененной формулой средней арифметической взвешенной и определяется по формуле 4.6:

где W – общий вес признака, равный:

Пример 6. По данным таблицы 4.6 определить среднее время на изготовление одной детали рабочими бригады.

Таблица 4.6

Работники бригады	Время на изготовление одной детали, час	Общее время на изготовление деталей за год
1. Абрамов П.И.	0,5	7,5
2. Симонов С.Л.	1	5
3. Маслов А.Ф.	3	8

Решение:

Средняя хронологическая.

Данный вид средней используется при определении среднего уровня в моментном динамическом ряду, когда уровни ряда равно отстают друг от друга. Средняя хронологическая определяется по формуле:

где x – уровни динамического ряда;

n – количество уровней динамического ряда.

Средняя геометрическая используется при определении среднего темпа в динамическом ряду и определяется по формуле:

где - темпы роста;

n – количество темпов роста.

Подробно эти средние будут рассмотрены в теме «Ряды динамики».

Средняя квадратическая имеет вид:

По правилу межорантности средних соотношение между всеми средними имеет вид:

(4.10)