9.3 Корреляционно-регрессионный анализ

Данный метод является самым распространенным методом изучения взаимосвязей между изучаемыми признаками. Его преимущество состоит в том, что он дает количественную оценку взаимосвязи, устанавливает ее тесноту и может быть использован при прогнозировании.

Корреляционно-регрессионный анализ начинается с графического метода. С помощью графика-поля корреляции выявляется факт наличия связи, направление связи и форма связи.

Прямолинейная зависимость.

Если с помощью графического метода установлено, что точки колеблются вокруг прямой линии, то уравнение однофакторной линейной зависимости имеет вид:

, (9.4)

где - теоретические значения результатов признака, полученные по

уравнению регрессии,

- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметр показывает насколько в среднем изменяется результативный признак, если факторный признак изменится на одну единицу.

Параметр показывает, чему был равен результативный признак, если факторный признак принять за ноль.

Параметры находятсяметодом наименьших квадратов:

Для нахождения решается система двух линейных уравнений:

(9.5)

Определив значение ии подставив их в уравнение (9.5) находятся значения зависимости только от заданного значенияx.

Для оценки тесноты взаимосвязи между факторным и результативными признаками рассчитывается коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

Коэффициент корреляции находится в пределах от -1 до 1. При , связь отсутствует. Еслипринимает значения 0-0,3 связь считается слабой, 0,31-0,5, связь умеренная, 0,51-0,7 связь заметная, а еслиxy оказывается >0,7 связь сильная. При обратной связи коэффициент имеет знак «минус».

Квадрат коэффициента корреляции представляет собой коэффициент детерминации более предпочтительнее для измерения связи, так как он может быть использован для измерения не только линейных, но и нелинейных связей. Он может быть выражен в процентах и принимает значение в интервале от 0 до 1. Чем ближе к единице, тем теснее связь и наоборот.

Рассмотрим применение корреляционно-регрессионного анализа на примере изучения влияния стажа работы на производительность труда работников (исходные данные взяты из таблицы 9.1).

Вначале с целью определения формы связи строится поле корреляции (рис. 9.2).

Производительность труда

Стаж работы

y

x

Рис. 9.2 Взаимосвязь между длительностью стажа и производительностью

труда работников

Из рисунка видно, что точки расположились кучно от левой части к его правой верхней части, это говорит о том, что связь между изучаемыми признаками существует, а по формуле она линейная. Аналитическую зависимость между рассматриваемыми признаками можно выразить уравнением прямой линии:

Найти параметр можно определить из системы уравнений (9.4). А для решения данной системы применяется способ определителей, позволяющий сводить к минимуму неточности определений в расчетах параметров уравнений регрессии.

Для определения исоставляется расчетная таблица 9.4.

Таблица 9.4 Расчетная таблица

Стаж работы, x	Производительность труда, y		xy
1 4 5 7 10 11 12 15 17 19 20 22	140 152 145 148 160 172 165 175 180 176 185 190	1 16 25 49 100 121 144 225 289 361 400 484	140 608 725 1036 1600 1892 1980 2625 3060 3344 3700 4180	19600 23104 21025 21904 25600 29584 27225 30625 32400 30976 34225 36100	140 146,9 149,2 153,8 160,7 163 165,3 172,2 176,8 181,4 183,7 188,3
Итого: 1143	1988	2215	24890	332368	1988

По итоговым данным таблицы определяются параметры уравнения регрессии:

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

Параметры показывают: 2, говорит, что при увеличении стажа работников на 1 год, производительность труда в среднем увеличивается на 2 детали в смену. Если принять стаж работы за ноль, а учитывать влияние других факторов производительность труда в смену составит 138 деталей.

Коэффициент корреляции, определяемый по формуле (9.5), составит:

Коэффициент корреляции показывает, что взаимосвязь между признаками сильная.

Для нахождения теоретических значений результативного признака в полученное уравнение регрессии вместо x подставляется значение факторного признака (стаж работы).

Полученные значения записываются в таблице 9.4, а на рис.9.3 изображены фактическая и теоретическая линии.

y

x

Фактическая линия

Теоретическая линия

Рис. 9.3 Фактическая и теоретическая линия