6.5 Интерполяция и экстраполяция

6.5 Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция – это метод определения значений промежуточных уровней ряда, которые по каким-либо причинам оказались неизвестными.

Существует несколько способов интерполяции:

1. Неизвестное значение уровня ряда находится как среднее арифметическое из соседних уровней ряда:

2. Промежуточное значение уровня ряда, которое неизвестно, можно определить по абсолютному приросту из соседних уровней:

3. Следующий способ интерполяции основывается на определении среднегодового темпа роста:

где – начальный уровень ряда;

- конечный уровень ряда;

n – число уровней ряда.

Пример 6. В таблице 6.7 приведены данные об объеме продукции предприятия за 5 лет, причем отсутствуют данные за 2008 г. Необходимо найти недостающий уровень всеми способами.

Таблица 6.7

Годы	2006	2007	2008	2009	2010
Объем продукции, тыс. руб.	310	328	?	340	350

Экстраполяция – метод определения количественных характеристик для совокупностей и явлений, которые не подвергались наблюдению. Экстраполяция используется при прогнозировании.

Прогнозирование – это оценка будущего на основе глубокого анализа тенденций развития социально-экономических явлений и их взаимосвязей, в прошлом.

Существует несколько способов прогнозирования:

1. Прогнозированное значение можно определить с использованием среднего абсолютного прироста:

где - средний абсолютный прирост;

- абсолютные приросты по годам;

n – количество приростов.

Используя данные предыдущего примера 6, выполняется прогноз на 2010 г.:

Для 2008 г. уровень ряда взят 338 тыс. ед.:

Данный способ применяется в том случае, если развитие явления происходит по арифметической прогрессии.

2. Следующий способ прогнозирования основывается на определении среднего темпа роста:

Рассмотренный прием экстраполяции предполагает, что уровни ряда изменятся в геометрической прогрессии.

3. Прогнозирование выполняется на основе аналитического выравнивания.

Для построения уравнения тренда используются различные математические функции.

Наиболее часто используются полиномы К-й степени.

Линейный тренд используется, если уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью, т.е. они изменяются в арифметической прогрессии. Тренд имеет вид:

Используя данные того же примера, выполняется прогноз с использованием линейного тренда, для этого составляется расчетная таблица 6.8.

Таблица 6.8 Расчетная таблица

Годы		t		Yt
2006 2007 2008 2009 2010	310 328 338 340 350	-2 -1 0 1 2	4 1 0 1 4	-620 -328 0 340 700
Итого	1666	0	10	92

Уравнение прямой линии:

Подставляет вместо t значение 3 (условное обозначение последующего года) получаем:

6.6 Изучение сезонных колебаний в динамических рядах

Многие динамические ряды подвержены сезонным колебаниям, т.е. уровни ряда в определенные месяцы года либо резко возрастают, либо уменьшаются. Для выявления интенсивности сезонных колебаний в динамических рядах используются показатели: индексы сезонности и среднее квадратическое отклонение.

Индекс сезонности определяется по формуле:

где - уровеньi-го месяца;

- средний уровень ряда.

Эта формула применятся, если средние уровни рядов за несколько лет являются стабильными. В противном случае используется следующая формула:

где - теоретические значения уровней ряда, полученные в результате

аналитического выравнивания.

Обобщающим показателем, характеризующим сезонность колебаний в динамическом ряду, является среднеквадратическое отклонение, которое определяется по формуле:

Эта величина рассчитывается за несколько лет и выявляется интенсивность сдвига в сезонности.

Пример 7. Имеются данные об объеме продаж по месяцам года торговой фирмы.

Таблица 6.9

Месяцы	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Объем продаж, тыс. руб.	205	195	245	210	220	235	225	228	240	220	210	248

Рассчитывается средний объем продаж:

Для определения индекса сезонности и среднего квадратического отклонения составляется расчетная таблица.

Таблица 6.10

Индекс, %	Январь	февраль	март	апрель	май	июнь
	91,7	87,3	109,6	94,0	98,4	105,1
	68,9	161,3	92,1	36	2,5	26
Индекс, %	Июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
	100,7	102	107,4	98,4	94	111,0
	0,5	4	54,7	2,56	36	121
ИТОГО:						605,5

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

Это означает, что в среднем индекс сезонности каждого месяца отклоняется от базовой величины (т.е. 100%) на 7,1%.

Сезонность колебаний можно изобразить графически (рис.6.4):

115

110

105

100

95

90

85

80

январь

февраль

март

апрель

май

июнь

июль

август

сентябрь

октябрь

ноябрь

декабрь

Месяцы