Teoriya avtomatichnogo keruvannya
.pdfГ л а в а 3 |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
1 + тр
або |
|
(1 + тр)1/л =кт л ,1/2 , |
(3.92) |
де т — запізнення; ктп — коефіцієнт передачі.
Отже, рівняння всіх ланок слідкувальної системи можна записати у вигляді системи рівнянь:
• об'єкта
(7>2 |
+р)$ = клІІа-/(гу9 |
• зворотного зв'язку
К0
• датчика розузгодження
у = ос(/) - а , ; |
(3.93) |
• потенціометричного датчика
=/с2 у;
• диференціювального пристрою
(Т2р+ 1)Ц2 =(к3 +к'ір)и1-
• тиристорного підсилювача
(тр+ 1)1/А = ктпІ/2.
Використовуючи вираз (3.82), записуємо рівняння слідкувальної системи в загальному вигляді:
[Р(р) + ОШ Р = Р{ (Р)$(РЖ0 + 0„ (Р)Р2 (Р) ос(0,
де Р(р)= (Т\р2 + р)(Т2р+ \)(тр+ 1) — добуток лівих частин усіх рів-
нянь ланок; ()(р) = к —/с2(/с3 +к'3р)кти — добуток правих частин
к0 усіх рівнянь; Р{(р) = (Т2 р+ 1)(тр+ 1) — добуток усіх лівих частин рів-
нянь, крім об'єкта; $(р) = І — коефіцієнт при збуренні; 0П (р) = кйк2 х х (/с3 + к'3р)кТЛІ — добуток правих частин усіх рівнянь, крім рівняння
140
3.11. Приклад знаходження рівняння динаміки слідкувальної системи
шпротного зв'язку; Р2(р) — ліва частина рівняння зворотного зв'язку (в даному разі дорівнює одиниці).
Отже, рівняння динаміки слідкувальної системи можна записати у вигляді
\(ТіР2 + р)(Т2р + 1)(тр + |
1 ) + к ±/ск0 |
2 ( к 3 |
+ |
к'3р)ктп ](3 |
= |
|||
= как2(к3+к'3р)ктп |
а(ґ) +(Т2р+ |
1 )(тр+ |
1)/(ґ). |
|
(3.94) |
|||
І Іоклавши р = 0, /(() < 0, дістанемо рівняння статики системи |
||||||||
-^к2к3ктл |
р |
= |
кйк2к3ктпа(() |
- |
/((). |
|
|
|
/с0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначивши как2к3кгп = к{ |
при сталих |
значеннях |
/ ( ї ) = /( ) , |
|||||
</(/) = а( ) , дістанемо рівняння статичного стану системи |
|
|||||||
~~ Р о = к, а о - /о |
|
|
|
|
||||
/с0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 0 |
= Л 0 а 0 |
- А / 0 . |
|
|
|
(3.95) |
||
Звідси видно, що Р0 відстає від потрібного значення сигналу к0а0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
/* |
|
на величину, що залежить від збурення / 0 . Величина |
0 |
є статич- |
||||||
н і
пою помилкою даної слідкувальної системи. Вона обернено пропорційна добутку коефіцієнтів підсилення ланок. Принципово статична помилка може бути як зі знаком «мінус», так і зі знаком «плюс».
Передаточна функція за збуренням у даному разі матиме вигляд
\УАр) |
= |
IV/(Р) |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
Г Т |
|
- |
|
|
||
^ = |
|
|
|
|
|
|
+к'3р) |
|||
|
|
|
|
|
кя—к2(к3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 + |
Кг\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7 > 2 |
+ р)(Т2р+ \)(тр+ 1) |
||||
|
|
|
(Т^ |
+р)(Т2р+ |
1)(ч>+1) |
|
|
|||
|
|
( 7 > 2 |
+р)(Т2р+ 1) |
( х р + |
\ ) + Ь-' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/С0 |
||
141
Г л а ва 3 |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
де И/' (/;) = 1 |
— передаточна функція об'єкта за збуренням; |
\У(р) = ™™ — передаточна функція розімкнутої системи.
У даному разі амплітудно-фазова характеристика слідкувальної системи за збуренням
ж |
= |
( - ^ а г + усй)(/Т2со + 1) (угсо + 1) |
|
|
|
|
|
'(-7| со2 + /со)(/Т2со + 1) (утсо + 1) + /с, Д0 '
Передаточну функцію даної системи за завданням після перетво-
рень запишемо так:
к,
И Л , ( Р ) _ м / , „ ч _ |
( 7 ] р 2 + р) (Т2р + 1) ( т / 7 + 1) |
(ТіР2 + р)(Т2р + \)(тр + 1)
(7, Р + р) (Т2р + 1) (тр + 1) + к{ /к0
де IVі,(/;) —- передаточна функція всіх ланок системи без зворотного зв'язку.
Відповідно до цього амплітудно-фазова характеристика даної слідкувальної системи за завданням матиме вигляд
к,
^А(УС0) = (-71 со2 + /со) (уТ2ш + 1) (/тсо + І) + /с, /к0
На основі знайдених виразів за викладеними раніше методиками можна дістати всі необхідні частотні характеристики системи.
В даному разі рівняння помилки
АІІ |
= 1¥и(р)а.(П-ІУ/(р)ДП = |
|
|
к] |
|
(ТіР2 |
+ р)(Т2р + 1)(тр+ 1) а (/) + |
|
(ТіР2 +р)(Т2р+ 1)(тр+ 1) |
-до. |
|
(7і, р- + Р) (Т2р + 1) (тр + 1) + /с. До |
||
142
3.12.Структурні схеми та їх перетворення
3.12
Структурні схеми та їх перетворення
"ід структурною схемою САК у теорії автоматич- п ; ного керування розуміють графічне зображення математичної моделі системи у вигляді з'єднаних ланок, які відпо-
віла ють функціональній схемі даної системи. При цьому кожна лан- і ц структурної схеми зображується прямокутником, в якому відображуються у вигляді передаточних функцій, рівнянь динаміки або ча-
го в о ї характеристики динамічні властивості даної ланки.
Удеяких випадках ланки можна пронумерувати, а їх динамічні
характеристики зобразити окремо. Вхідні і вихідні величини на с труктурних схемах можуть бути записані у вигляді зображень або їх оригіналів.
Ланки, які забезпечують алгебричне підсумовування (суматори) деяких величин, зображують у вигляді кола, поділеного на чотири рівні сектори. Якщо вхідні величини мають різний знак, то це відображується або знаком «мінус», або затушовуванням відповідного
сектора (рис. |
3.33). |
|
|
|
у = х^ + х2 |
- А |
х2 |
х2 |
|
б |
в |
|
Рис. |
3.33 |
Структурні схеми широко застосовуються в ТАК при дослідженнях і проектуванні. За їх допомогою легко простежити зв'язки між панками, їх вплив, проходження сигналів у системі.
Ланки структурної схеми можуть відображати не тільки окремі елементи, а й їх об'єднання, а також частини системи, як було покаіано, наприклад, при виведенні рівняння слідкувальної електромеханічної системи.
За допомогою апарата передаточних функцій можливе також перетворення складних структурних схем на простіші, що в ряді випадків необхідно для знаходження відповідних рівнянь системи на основі відомих формул.
143
Глава З |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
Правила перетворення структурних схем. Найпрос- |
тіші перетворення структурних схем та їх окремих елементів було розглянуто раніше.
При послідовному з'єднанні ланок результуюча передаточна функція ИУ(р) ланок у загальному вигляді може бути визначена як
добуток передаточних функцій IV, (р) ланок: |
|
|
^(Р)Пс = / = 1 |
ГЇ^Др), |
(3.96) |
а при паралельному — як їх сума: |
|
|
ЩР) пар = |
|
(3.96а) |
/ = 1 |
|
|
Передаточна функція ланки зі зворотним зв'язком (аналогічно група ланок, охоплених зворотним зв'язком, рис. 3.34, а) матиме вигляд
\¥™\р) = |
К |
Лр) |
(3.97) |
|
|
де ]¥пр (р) — передаточна функція прямого каналу, яка є передаточною функцією окремої ланки або групи послідовно з'єднаних ланок (тоді И^пр(р) = IV{(р)... (/>)), що охоплюються зворотним зв'язком (рис. 3.34, б).
N |
, |
|
|
|
|
) |
* |
Щр] |
|
щр) |
Щр) |
^зв.з(р)
а
б |
в |
Рис. 3.34
144
3.12.Структурні схеми та їх перетворення
Знак «плюс» відповідає від'ємному, а знак «мінус» — додатному широтному зв'язкові; І¥31і3 (р) — передаточна функція самої ланки іворотного зв'язку; Д/?) 3 (р) = ]¥(р)— передаточна функція роимкнутої системи, точніше, контура зворотного зв'язку, що містить і піки з передаточними функціями Жпр(/?)та }У3й3{р).
Отже, передаточна функція ланки (або групи ланок), охопленої шпротним зв'язком, є передаточною функцією прямого каналу, роз- /іпісною на 1 ± передаточна функція розімкнутого контуру зворотноіо зв'язку. У випадку, коли розглядається головний зворотний зв'я- юк САР, цей контур є контуром розімкнутої САР. У цьому разі передаточна функція замкнутої системи (системи з головним зворотним иГязком) записується у вигляді
№ (Р)
1 ± V/ (р)
Якщо передаточна функція зворотного зв'язку \УІПІ{р) дорівнює одиниці, то такий зворотний зв'язок називають одиничним, що зображується так, як на рис. 3.34, в.
Передаточні функції прямого каналу і розімкнутої системи в цьому разі дорівнюють одна одній ІУпр (р) = №(р), і передаточна функція манки зі зворотним зв'язком
IVі"3(р)= |
. |
(3.99) |
^ |
1 ±ІГ(р) |
|
Знаючи правила перетворення структурних схем, можна досить просто розв'язати завдання перетворення одноконтурних і деяких багатоконтурних систем. При цьому під одноконтурною замкнутою гпстемою розуміють систему, при розмиканні якої в довільній точці можна дістати ланцюжок ланок, в якому відсутні паралельно з'єднані ланки і ланки, охоплені зворотними зв'язками.
Вагатоконтурною називають систему, яка має в своєму складі паралельно з'єднані ланки, а також ланки з місцевими зворотними зв'язками.
Як приклад розглянемо структурну схему, зображену на рис. 3.35, а. Ця схема є багатоконтурною і має в своєму складі ланки з місцевими зворотними зв'язками: ланку ]¥2 (р)з від'ємним інерційппм зворотним зв'язком И^зцз^); ланку \У5(р)з додатним одиничним
145
\о |
со |
^ |
и |
||
|
|
:з |
|
|
О. |
146
3 . 1 2 . Структурні схеми та їх перетворення
шпротним зв'язком (р), а також паралельно з'єднані ланки \УА(р) і П (/;). Об'єктом системи крування є ланка Ж6(р).
Спочатку проведемо перетворення ланок зі зворотними зв'язка-
ми:
1 + \У2(Р)Щ,ЛРУ |
5 ш / ) " " І - |
Для паралельно з'єднаних ланок дістанемо
Розглядаючи далі ланки як послідовно з'єднані, знаходимо їх передаточну функцію
^,-5 (р) = (/>) 1^4 (Р) + -
Відповідно спрощену структурну схему системи показано на рис. 3.35, б.
Розглянемо можливості перетворення структурної схеми, наведеної на рис. 3.35, в. Ця структурна схема має додатні зворотні зв'язки, кожний з яких охоплює по дві ланки. Одна з них входить також до контура іншого зворотного зв'язку. Такі структурні схеми називають
схемами з перехресними зворотними зв'язками. їх не м о ж н а перетво -
рити за допомогою розглянутих вище формул. Тому їх треба перетворити таким чином, аби ліквідувати зв'язки, що перехрещуються.
Для перетворення структурних схем із перехресними зворотними зв'язками використовуються правила переносу додатних пристроїв (на схемі ДП1, ДП2, ДПЗ) та вузлів (позначених В1, В2).
Правила переносу додатних пристроїв і вузлів у схемі.
Загальний принцип переносу додатного пристрою або вузла в схемі полягає в тому, що при ліквідації явища перехрещування зворотних зв'язків вихідні величини ланок мають бути незмінними. Цей принцип добре ілюструють схеми переносу додатного пристрою ДП (рис. 3.36, а, б, в) і вузла В (рис. 3.37, а, б, в).
Гак, на рис. 3.36, £показано перенос ДП вправо по ходу процесу. Мри цьому величина х не проходитиме крізь ланку що має місце у вихідній схемі. Для того щоб процес у перетвореній схемі не змінився, необхідно ввести додаткову ланку IV2 (р) між точкою вводу сигналу х і ДП.
147
Глава З |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
|
|
в |
|
|
|
|
Рис. 3.36 |
|
||
Справді, |
якщо у |
вихідній |
схемі |
х2 Ш1Х |
= И/Г2(р)х2 вх = Ж2(/?) х |
X (*1 вих + * ) > |
Т 0 В ^ Ь 0 М У |
Р а З І * 2 в и х |
= |
вих + |
ДЄ х'2 т = \У2{р)Х{ |
х' = №2(р)х, тому х2вих |
= 1У2(р)хх вих + \у2(р)х = \У2(р)(х{ цих + х) буде |
||||
таким самим, як і у вихідній схемі. |
|
|
|||
Якщо ДП переміщується вліво (проти ходу процесу), то між точкою прикладання величини х і ДП потрібно ввести ланку, передаточна функція якої буде оберненою функцією ланки, через яку ДП переміщується вліво.
При цьому Х2вих = 1У2(р)х{ВИХ; х,'вих |
= |
(р)хх вх + |
- х ' , звідки |
|
х2 вих |
=№2(р)[\¥х(р)х 1вх + х]=1Г2(р)(хІШХ |
+ х ) |
д о р і в н ю є |
вихідній ве- |
личині |
вихідної схеми. |
|
|
|
Вихідну (а) і перетворені (б, в) схеми переміщення вузла В вліво та вправо відносно початкового положення показано на рис 3.37. При переміщенні вузла також необхідно ввести додаткові ланки, як показано на рис. 3.37, б, в. Справді, якщо вузол В переміщується
148
3 . 1 2 . Структурні схеми та їх перетворення
X
а
б
в
Рис. 3.37
шірлію, то для того, щоб величина х не змінилася, необхідно ввести в ланцюг х ланку з передаточною функцією, оберненою передаточнім функції ланки, через яку було переміщено цей вузол. Якщо вузол И переміщується вліво, треба ввести додаткову ланку з передаточною функцією, що дорівнює передаточній функції ланки, через яку переміщується цей вузол.
Розглянемо ще раз схему на рис. 3.35, в. Для ліквідації перехресних зворотних зв'язків можна перемістити додатний пристрій ДП2 вправо, об'єднавши його з ДПЗ, або вузол ВІ вправо, об'єднавши пою з вузлом В2. Можливе також перенесення вузла В2 вліво й об'єднання його з вузлом В1.
Перетворена схема з переносом вузла В1 вправо показана на рис. 3.38, а, аз переносом ДП2 вправо й об'єднанні його з ДПЗ — на рис. 3.38, б.
І Іерехрещування зворотних зв'язків можна ліквідувати також перемістивши вузол В2 вліво й об'єднавши його з вузлом В1. В цьому разі в коло одиничного зворотного зв'язку треба ввести додаткову і піку з передаточною функцією ІУ3(р).
149