Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Із формули (2.15) можна також зробити важливий висновок, що одну й ту саму похибку (точність), як і в системі регулювання за відхиленням, в комбінованій САК можна дістати при меншому значенні коефіцієнта передачі розімкнутої системи К. Це може мати важливе значення в разі необхідності задовольнити умови стійкості САР або збільшення запасу стійкості системи без зменшення її статичної точності.

2.4

Форми записи рівнянь статики

Існує три форми запису рівнянь статики: в абсолютних величинах, відхиленнях і відносних величинах.

Запис рівнянь статики в абсолютних величинах. Якщо залежність хвих = /(хв х )задано графічно (рис. 2.9), де на осях відкладено абсолютні величини, то відповідну аналітичну залежність можна записати у вигляді

де а — початкове значення вихідної величини; К — коефіцієнт, що характеризує нахил характеристики.

Форма записи рівнянь статики и відхиленнях. Нехай початкові значення вхідної і вихідної величин х()вх і х()вих. Якщо вони зміняться і набудуть значень хвх і хв и х , то з урахуванням відхилень Дх„. і ДхИИ¥ можна записати

6 0

2.5. Динаміка систем автоматичного регулювання.

~Завдання й особливості загальноїметодики дослідження

Форма запису рівнянь статики у відносних (безрозмірних) величинах. Введемо базові значення вхідної хбвх і вихідної хбвих величин (за базові значення можна прийняти будь-які величини, але ідебільшого їхні номінальні значення).

Визначимо

сенс якого полягає в тому, що в статиці відносне значення вихідної величини чисельно дорівнює відносному значенню вхідної величини.

2.5

Аинаміка систем автоматичного регулювання. Завдання й особливості загальної методики дослідження

"инаміка САР як розділ ТАК вивчає перехідні про- Д:ц е с и в різних системах — лінійних і нелінійних.

Враховуючи принципові особливості лінійних і нелінійних САР, ці системи розглядатимемо окремо.

Динамічні властивості лінійної САР у найзагальнішому випадку можуть бути детально вивчені на основі диференціального рівняння,

яке називають рівнянням замкнутої САР.

6 1

Рівняння замкнутої САР дістають на основі рівнянь ланок, з яких складається дана система. При складанні рівняння замкнутої САР виходять з вірогідності принципу детектування, згідно з яким у САР існує напрямленість дії ланок — від попередньої до наступної. При цьому реакцією наступної ланки на попередню нехтують. Тому рівняння динаміки ланки, взятої окремо, буде таким самим, як і цієї ланки в деякій САР (необхідно лише узгодити вхідні і вихідні величини ланок).

На практиці направленість дії ланок у САР забезпечується наявністю в системі детектувальних ланок, які можуть передавати енергію лише в одному напрямі. Прикладами можуть бути різноманітні підсилювачі та серводвигуни.

Методика знаходження рівнянь САР. При складанні рівняння динаміки дотримуються такої послідовності.

1. Детально вивчають суть фізичних явищ у САР, знаходять (або розробляють) методи їх математичного описання. При цьому насамперед встановлюють узагальнені координати системи, під якими розуміють незалежні одна від одної змінні, необхідні і достатні для повного описання системи. Кількість незалежних змінних визначає кількість ступенів свободи даної системи.

2.Визначають ланки САР і складають її функціональну схему.

3.Встановлюють початок відліку відхилень узагальнених координат і напрям їх зміни. Як правило, за початок відліку приймають стан рівноваги системи.

4.При складанні рівнянь динаміки ланок і системи в цілому враховують вплив усіх діючих факторів.

5.Якщо рівняння системи буде дуже складним, то на практиці часто його спрощують.

Основними шляхами спрощення рівняння САР є:

/нехтування деякими факторами, що мало впливають на пове-

дінку і якість системи (наприклад, іноді змінні параметри ланок — коефіцієнти рівнянь — можуть прийматись сталими, якщо час суттєвої зміни параметра в кілька десятків разів перевищує тривалість перехідного процесу, а також якщо коефіцієнти при вищих степенях похідної набагато менші від коефіцієнтів при похідних першого степеня; в цьому разі можна зменшити порядок рівняння системи);

/ заміна нелінійних залежностей лінійними — здійснення проце-

су лінеаризації.

62

2 . 6 . Лінеаризація нелінійних рівнянь. Приклади

При спрощенні рівняння динаміки САР необхідно в кожному конкретному випадкові відповісти на питання, чи це спрощення можливе, виходячи із технологічних особливостей об'єкта (процесу).

Після спрощення рівняння і його лінеаризації дістають рівняння, яке називають рівнянням першого наближення. Воно дає змогу в ряді випадків відповісти на деякі важливі питання побудови конкретної системи (стосовно вибору початкового варіанта структури, впливу зміни параметрів, встановлення напрямів у проектуванні і настроюванні системи та ін.).

2.6

Лінеаризація нелінійних рівнянь. Приклади

снує два основні методи лінеаризації — графоана-

ілітичний (лінійно-кускова апроксимація) і аналітичний.

Графоаналітичний метод лінеаризації. Цей метод базується на заміні окремих криволінійних частин характеристик відрізками прямої і формуванні відповідних аналітичних залежностей.

•Приклад 2.1. Характеристику О В генератора постійного струму показано на рис. 2.10. Потрібно лінеаризувати дану характеристику і знайти аналітичні вирази лінеаризованих частин характеристики.

Ро з в ' я з а н н я . Характеристику ОВ замінюємо лінійними відрізками ОЛ і ЛВ. Записуємо рівняння характеристики О А:

63

Р о з в ' я з а н н я . Продовжимо робочу частину механічної характеристики до перетину її з горизонтальною віссю в точці N. Номінальне значення моменту двигуна Мн = ОNСN. 3 трикутника САГА''знайде-

мо значення СN= п.. ІЗ ос = пиВ; п.. — номінальне значення швидкості,

що відповідає точці К механічної характеристики двигуна; В — деяка стала величина, що характеризує кут нахилу робочої частини характеристики.

Обчислимо синхронну швидкість асинхронного двигуна

де / — частота, Гц, номінальну швидкість

пн = п0(\-5) = 1000(1 - 0,005) = 950 об/хв.

Номінальне значення моменту Ми - А - Впи, або 10 = А - В- 950. Записуємо рівняння холостого ходу двигуна:

1000950 Лінеаризоване рівняння робочої частини механічної характерис-

тики

М = 200 - 0,2/г

64

2 . 6 . Лінеаризація нелінійних рівнянь. Приклади

Аналітичний метод лінеаризації. Найбільш поширеним є розклад нелінійної функції в ряд довкола деякої точки характеристики. На практиці застосовуються ряди Паде, Фур'є та ін.

Найчастіше використовується ряд Тейлора, згідно з яким нелінійну функцію /(2) можна записати у вигляді нескінченного ряду

де /{а) — початкове значення функції; /'(а),..., /п(а) — похідні відповідного порядку; 2 - а — відхилення змінної відносно її початкового значення в точці а.

Згідно з гіпотезою малих відхилень Вишнєградського, я к а ствер-

джує, що в процесі регулювання відхилення регульованої величини відносно її початкового значення незначне, відхиленням змінної (2 - а) в другому, третьому і далі степенях можна знехтувати. Тому в ТАК вираз (2.19) спрощується і формула лінеаризації набуває вигляду

•Приклад 2.3. Лінеаризувати тягову характеристику соленоїдного еле-

де сел — стала тягового електромагніту, яка залежить від його конструктивних особливостей; и0, Г0ел — початкові значення напруги і сили тяги; Аи0, А/^)ел — відхилення відповідних величин.

Розкладемо нелінійну функцію /(2) = (и0 + Аи)2 в ряд Тейлора згідно з (2.20). При цьому її початкове значення таке:

/(я) = "о2;

/ ( 2 ) = и^ + 2и()Аи.

Підставляючи знайдений вираз у праву частину рівняння (2.22), одержуємо

де Кел =2с щ — передавальний (передаточний) коефіцієнт електромагніту.

Аналогічно можна лінеаризувати рівняння моменту асинхронного двигуна, для якого рушійний момент приблизно пропорційний квадрату напруги мережі. Згідно з цим можна записати лінеаризоване рівняння у відхиленнях

2.7

Форми запису рівнянь динаміИи. Приклади складання рівнянь ланок

Рівняння динаміки ланок і САК можуть бути складені так, як і рівняння статики в абсолютних вели-

чинах, відхиленнях і відносних величинах.

При складанні рівнянь динаміки також широко використовується огіераторна форма запису диференціальних рівнянь, згідно з якою вводяться символи похідних і інтегралів, що визначаються за допомогою оператора р. Записуємо похідні в операторній формі

66

2.7. Форми запису рівнянь динаміки. Приклади складання рівнянь ланок

При операторній формі запису оператор р розглядається як деяка величина, на яку можуть поширюватись усі алгебричні дії.

Правомочність відокремлення функції від знака оператора можна показати на основі відомих положень математики.

Наприклад, на основі того, що похідна суми деяких величин х, у, - є сума цих похідних

1

— рх - X.

р

Приклади складання рівнянь динаміки при використанні різних форм запису. Як приклад розглянемо добре відомий елемент — активно-індуктивний електричний опір 2 (рис. 2.12, а). Вхідною величиною є напруга и, вихідною — струм /.

На практиці такими елементами є обмотки збудження електричних машин постійного струму, котушки електромагнітів, елементи соленоїдних електроприводів тощо.

У даному разі необхідно встановити в динаміці залежність вхід — вихід / = /(«), використовуючи відомі положення фізики (електротех-

67

Миттєві значення спаду напруги на активному й індуктивному опорах відповідно позначимо ик і иь. При послідовному з'єднанні опорів їх сума спадів напруги дорівнює миттєвому значенню напруги мережі:

сіі

Розділивши ліву і праву частини знайденої рівності на Я і перенісши вихідні величини в ліву частину рівняння, дістанемо рівняння динаміки ланки активно-індуктивного опору в абсолютних величинах у вигляді

сіі

де Т = — стала часу; к = — — передаточний коефіцієнт ланки.

В операторній формі запису це рівняння матиме вигляд

Для складання рівняння у відхиленнях введемо початкові значення С/0, /0 і відповідні відхилення Аита А/.

Підставляючи значення и=1!0 + Аи; і = /() + А/ у рівняння (2.25), дістанемо

68

Для складання рівняння у відносних величинах введемо як базові номінальні значення струму /н і напруги ЦН9 позначивши

_ А і ш _ А и

НII

Підставляючи в рівняння ( 2 . 2 7 ) і ( 2 . 2 8 ) значення Аи = [іІІн , А/ ф/н , запишемо рівняння динаміки у відносних величинах у вигляді

2.8

Коефіцієнт самовирівнювання та його вплив на характер перехідних процесів

Розділивши ліву і праву частини рівняння (2.31) на передаточний коефіцієнт к і позначивши Т/к = Т(П а 1 /к = кс, дістанемо рівняння у

кс (2.34) до /сс — коефіцієнт самовирівнювання.

69