Teoriya avtomatichnogo keruvannya

систему може зробити нестійкою. Згідно з цим вертикальну (уявну)

вісь у комплексній площині конів називають межею стійкості.

Відстань до уявної осі найменшого «лівого» кореня (за відсутності «правих» коренів або коренів, які знаходяться на уявній осі) харак-

Теорема 2

Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи є додатні корені або комплексні корені з додатною дійсною частиною, то збурений рух вихідної системи буде нестійким незалежно від значення відкинутих при лінеаризації членів ряду Тейлора.

Теорема З

Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи є нульові або чисто уявні, то для оцінки стійкості вихідної системи необхідно враховувати нелінійні складові ряду Тейлора, відкинуті при лінеаризації.

Наведені теореми є теоретичною основою можливої оцінки стійкості реальних (вихідних) систем за допомогою лінеаризованих рівнянь.

180

4.4.Алгебричні критерії стійкості

( ного часу існували відомі складнощі щодо знаходження коренів алгебраїчних рівнянь високого порядку. Тому було розроблено метопі, що дають змогу досліджувати стійкість САК без знаходження ко- р т і в характеристичного рівняння. Ці методи дістали назву критеріїв

стійкості.

Зараз у зв'язку із поширенням комп'ютерів і застосуванням чистіших прикладних програм труднощів у визначенні коренів практично не існує, проте критерії стійкості не втратили свого значення. Нони дають змогу не тільки визначити факт стійкості або нестійкос- п їх широко застосовують для визначення запасу стійкості, вирішення задач щодо підвищення якості систем та їх корекції, визначення амплітуди і частоти автоколивань нелінійних систем тощо.

Існують два основні види критеріїв стійкості: алгебричні та часіотні.

4.4

Алгебричні критерії стійкості

(друге формулювання критерію), критерій Найквіста, метод О-роз- (нптя, логарифмічні критерії.

Алгебричні критерії дають змогу оцінювати стійкість за коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.

Як вказувалося раніше, характеристичне рівняння одноконтуріюї замкнутої системи

Р(р)+0(р)= о.

Після перемноження співмножників, які входять до складу опе- ,>агорів Р(р) = Рх (р)Р2(р)... РП(Р); <2(Р) = 0, Ші(/>)••• <2„(Р), та зведенігі подібних членів характеристичне рівняння замкнутої системи мамі ме вигляд

Аналіз перехідних характеристик типових ланок першого і друго- ю порядків свідчить, що для рівняння першого і другого порядків необхідною і достатньою умовами є додатне значення коефіцієнтів,

181

що зумовлюється від'ємними знаками дійсних коренів або дійсних частин комплексних коренів.

Для систем вищого порядку (п > 3), крім додатного знака коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої системи, необхідно, щоб виконувалися й інші умови згідно з відповідними критеріями.

Критерій Рауса—Гурвіца. Англійський математик Е. Раус (1877 р.) і австрійський вчений А. Гурвіц (1895 р.) незалежно один від одного запропонували критерії, на основі яких стало можливим визначити умови стійкості лінійних САР, виходячи зі значень коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Е. Раус запропонував критерій у вигляді алгоритму, на основі якого можна скласти таблицю для оцінки стійкості системи. Критерій А. Гурвіца було представлено визначниками, які формуються за відповідними правилами. Кінцеві результати (умови стійкості) в обох критеріях однакові. Тому в ТАК для них часто використовується одна загальна назва — критерій Рауса—Гурвіца. Проте, враховуючи більшу простоту формування визначників, які визначають умови стійкості, на практиці частіше користуються критерієм Гурвіца.

Згідно з цим критерієм умови стійкості формулюються таким чином:

Наведемо правило знаходження визначника Гурвіца.

1. По головній діагоналі записують коефіцієнти характеристичного рівняння від ах до ап.

2.Місця зверху від діагоналі заповнюють коефіцієнтами з більшим індексом, а знизу — з меншим.

3.За відсутності відповідного коефіцієнта ставлять нуль.

4.Діагональні мінори визначають із головного визначника Гурвіца викреслюванням відповідних стовпців і рядків.

Розглянемо конкретний приклад формулювання умов стійкості для системи п'ятого порядку.

•Приклад 4.1. Знайти головний визначник Гурвіца і його діагональні мінори для замкнутої системи з характеристичним рівнянням

£ / ( ) / / + <7, рА + #2/;3 + <73/У + а4р + сі5 = 0.

182

4.4.Алгебричні критерії стійкості

Р о з в ' я з а н н я . Головний визначник Гурвіца має вигляд

У системі при п = 3 характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд

а0р3 + ахр2 + а2р + д3 = 0,

а головний визначник Гурвіца —

183

4.4.Алгебричні критері'і стійкості

2Встановити функціональну залежність відповідного визначни-

Іі аію визначників (згідно з п. 1) і параметра Тх:

АХ=/(ТХ).

І Іаприклад, при п = 5 такими залежностями мають бути: /с/;) І А2 = /(Тх).

] умов Дл. = /(Тх) = 0 визначити критичні значення Тх (значенії і І\, за яких система знаходиться на межі стійкості), а також зони, в чі,п\ /\ відповідає стійкому або нестійкому стану системи.

4.У зоні «стійких значень» Тх встановити необхідний запас стій-

іос гі за параметром Тх і виділити зону рекомендованих значень цьо- ю параметра.

Знайдені значення параметра Тх за умовами стійкості надалі трепа узгоджувати з вимогами якості перехідного процесу. Якщо парами ір /\ входить до складу коефіцієнта ап характеристичного рівняним і визначає статичну точність системи, то вимоги стійкості й якості мають узгоджуватися з вимогами статичної точності.

Для ілюстрації викладеної методики розглянемо рис. 4.4. Деяку 11 іежність А3 = /(Тх), що відповідає системі четвертого порядку, умовою стійкості якої є А3 > 0, зображено на рис. 4.4, а. Критичні міачепня параметрів Тх] і Тх2 відповідають А3 = 0, і рекомендоване иіачення параметра Тх має перебувати в межах Тх1—Тх2.

Випадок, що відповідає системі п'ятого порядку (п = 5), наведено па рис. 4.4, б. У цьому разі умовою стійкості є А2 > 0, А4 > 0. Тому

А

А2 = Ґ(Тх)

0

\ \

Рис. 4.4

1 8 5

Критерій ВииінєградсьИого. Цей критерій розроблено в 1877 р. для систем автоматичного керування парових машин, які мали третій порядок рівнянь динаміки, чим обмежується область його використання. І. О. Вишнєградський звів характеристичне рівняння

а0р2 + ахр2 + а2р + а3 = 0,

яке має чотири коефіцієнти, до рівняння з двома коефіцієнтами X, У, які дістали назву параметрів Вишнєградського. Для цього вихідне характеристичне рівняння спочатку було зведено до вигляду

Після підстановки значень С, і С2 у вираз (4.16) дістанемо

Х ^ У І І С Ї - с3 > о,

186

4.4.Алгебричні критерії стійкості

ІІраворуч від кривої міститься зона стійкості ХУ > 1, а ліворуч —

иII і.і нестійких режимів ХУ < 1.

11-і основі наведених формул можна дістати залежності між іншими параметрами, що входять до складу коефіцієнтів а0,... ,а3, і, отже, м нениному вигляді — в рівняння (4.18), (4.19). При цьому залежності п і іншими параметрами, як правило, відрізняються від гіперболіч- п о і о закону.

Приклад дослідження стійкості конкретних систем за ииппмогою алгебричних критеріїв стійкості. Дослідження проведемо ПІЯ конкретної системи стабілізації напруги генератора постійного « іруму, рівняння якої було знайдено в гл. З, а принципову і струкіурпу схеми зображено на рис. 3.28 і 3.29.

Характеристичне рівняння системи стабілізації

чомпх елементів системи якоря електромагніту, поршня демпфера, пружини, повзунка реостата.

Розглянемо методику дослідження основних питань стійкості за іопомогою різних критеріїв стійкості для конкретних значень параметрів.

иПриклад 4.2. Нехай Тх = 0,01 с; ТЛ = 0,03 с; кр = 300. Треба дослідити стійкість системи.

1 8 7

Для системи третього порядку, крім додатного знака коефіцієнтів, як зазначалося раніше, умовою стійкості є Д2 > 0. Тому в даному разі умову стійкості можна записати так:

Підставивши числові значення параметрів, дістанемо

Д2 = 0 , 0 1 + 0 , 0 3 - 0 , 0 1 • 0 , 0 3 • 3 0 0 = 0 , 0 4 - 0 , 0 9 = - 0 , 0 5 < 0,

що вказує на нестійкість системи.

Аналізуючи умову стійкості Д2 > 0, бачимо, що в теоретичному плані стійкість даної системи можна досягти за рахунок:

•зменшення сталих часу Тг, ТА або однієї з них (тут треба враховувати, що добуток цих параметрів зменшуватиметься більшою мірою, ніж їхня сума);

•зменшення коефіцієнта передачі розімкнутої системи шляхом

зменшення будь-якого коефіцієнта (або коефіцієнтів) передачі, що входять до складу /ср як співмножники;

•одночасної зміни в потрібному напрямку сталих часу і коефіцієнтів передачі.

Вибираючи варіант настроювання системи, насамперед слід враховувати ефективність і технічну зручність вибору і зміни регулюючого параметра системи. З принципової схеми САК і знайдених раніше рівнянь ланок випливає, що з технічної і теоретичної точок зору в даному разі найзручнішим буде зменшення коефіцієнта підсилення (передачі) розімкнутої системи і сталої часу демпфера за рахунок збільшення величини сд. Так, зменшуючи кількість діючих («активних») отворів у площині поршня демпфера, можна збільшити величину сд і зменшити сталу демпфера Тп = т/сІХ. У разі збільшення сд в потрібному напрямку змінюватиметься (зменшуватиметься) також і коефіцієнт підсилення відповідної ланки /сд = 1/сд, а також величина коефіцієнта підсилення розімкнутої системи кр.

Нехай параметр сд збільшимо втричі. Знайдемо нові значення відповідних параметрів системи

= = Та /3 = 0,03/3 = 0,01с;

З С Д

к'р = кр /3 = 300/3 = 100; Т, = 0,01 с.

188