Teoriya avtomatichnogo keruvannya

ня складової х„ер(0)більше вплине на величину В(1), ніж на А(і). Тому перехідний процес може не мати перерегулювання (рис. 5.3, <?, крива У).

Нехай хпер(0)> 0 і х„ер(0)< 0. Похідна від початкових умов із від'ємним знаком різною мірою впливає на вирази А(1) і В{і). У цьому разі можливе перерегулювання та зміщення перехідного процесу в зону від'ємних значень хпер(/) (рис. 5.3, в, крива 2).

Розглянемо випадок комплексних коренів з від'ємними дійсни-

Перехідний процес є коливанням із затухаючою амплітудою, за- лежною від початкових умов: початкова фаза ср0 = агсї£ КеР(0) + сс ,

амплітуда А(0) = х(0)е~ш.

Проведений аналіз і знайдені вирази хпер(/) показують, що за виглядом коренів і початковими умовами можна відповісти на всі основні питання про якість САР. Водночас викладена методика навіть для простого випадку — системи регулювання другого порядку — потребує аналізу досить складних виразів. Ці труднощі значно зростають за високих степенів рівняння, особливо у разі дослідження якості в умовах зміни параметрів ланок системи (зміна лише одного параметра системи призводить до зміни всіх п коренів характеристичного рівняння). У зв'язку з цим у ТАК велике поширення набули

250

! >. З. Наближені методи оцінки якості

ім ми наближені методи, які дають змогу мати відповіді на окремі пи- і ннгі про якість без розв'язання рівняння системи.

5.3

Наближені методи оцінки якості

Існують три основні види наближених методів оцінки якості: кореневі, інтегральні й частотні.

Кореневі методи оцінки якості. К р і м розглянутого ра-

ніін1 методу аналізу якості за кривою незбурених коливань, який мо-

• на піднести до даного виду методів, до кореневих належать такі ме-

()цінксі якості за розміщенням коренів на комплексній площині.

< » піпм із методів цієї групи є метод оцінки якості за найменшим коре-

251

наявності комплексних коренів у розв'язку рівняння незбурених коливань системи з'являється складова вигляду

С2е~ш зіп фі + у).

Період коливань у цьому разі Т = 2я/р. Амплітуда синусових коливань С2е~а{ має зсув за фазою відносно початку координат на кут у.

За час, що відповідає одному періоду коливань Г, нове значення амплітуди обчислюється за формулою

С2е [ ( ' = С2е~а1е Г

Звідси випливає, що чим більша величина коливальності \х, тим довше загасатиме перехідний процес. При цьому ступінь стійкості (к = а) зменшуватиметься.

Так, за аперіодичної стійкості складова перехідного процесу, яка відповідає найменшому дійсному кореню р{, дорівнює С{е~/и. Тривалість затухання перехідного процесу до величини, що становить 5 % від початкового значення х0 = С,, яке умовно вважаємо таким, що відповідає закінченню перехідного процесу в даній системі, можна знайти з виразу

0,05.x() = х()е~'"",

звідки 1п0,05 = -/ПЛ, або іп = - І 1 ! ^ ^ ~ З/Н.

її

Отже, тривалість перехідного процесу обернено пропорційна ступеню стійкості. Звідси можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу прямо пропорційна ступеню затухання коливального перехідного процесу, ДЛЯ ЯКОГО \1 = Р/Л.

Якщо ставляться обмеження щодо тривалості (ґп) або коливальності (ц), то це приведе до необхідності розміщення всіх інших коре-

які лежать у межах даної зони, затухатимуть швидше. Показані на рисунку криві перехідних процесів відповідають від'ємним дійсним кореням

ІА 1=1 Д І< \Рі\< ІАІ< ІАІ-

252

! >. З. Наближені методи оцінки якості

УР

ОС/

о

Рис. 5.5

\ иГязку з викладеним виникає задача знаходження мінімально- и» кореня. Для її розв'язання у 1941 р. І. М. Вознесенський запропо- м пан іакий метод.

IЗнаходять мінімальне значення кореня за умови, що за час /п

І• іпчина відхилення регульованої величини х від її початкового зна- і'пня \ () дорівнюватиме т %.

IIїй вимогу можна виконати, якщо найменша дійсна частина ко-

і-міч характеристичного рівняння замкнутої системи не буде меншою і а деяку величину а, .

< К-кільки всі інші складові перехідного процесу вигляду СкеІУ за- і а і ймуть швидше, то рівняння системи зводиться до рівняння пермм н о порядку

X —_ Хд а і і

її ічпо з поставленою умовою х = х0 • 0,01 т, тому можна записати х0 • 0,0\т = х0 еа , /,

ми/їси ліс танемо формулу мінімального кореня

253

1 п 0,01т

(5.7)

2. Перевіряють «мінімальність» знайденого за формулою (5.7) кореня а, в умовах даної системи.

Для цього вертикальну вісь у комплексній площині коренів переміщують вліво на відстань ос, (рис. 5.5, б). У новій системі координат (після переміщення вертикальної осі) характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд

аоІР~ аі У +а{(р-аі)"-{ +... + ап_1(р-аі) + ап = 0.

(У дане рівняння підставляють абсолютне значення величини мінімального кореня а, . ) Після розкриття дужок і зведення подібних членів дістаємо нове характеристичне рівняння того самого порядку, але за іншого значення коефіцієнтів

3. Якщо нова система з характеристичним рівнянням (5.8) буде нестійкою, то це означає, що визначений за заданими умовами якості системи мінімальний корінь в дійсності не є мінімальним. Тому в даній системі неможливо виконати поставлену умову (їп, т %). В цьому разі можливі такі варіанти наступних дій: або погодитися з тим, що поставлену умову виконати неможливо, або змінити її відносно ґп і /77 і знайти відповідне нове значення мінімального кореня а/ + І і перевірити його мінімальність. На основі даного методу можна також визначити значення настроювальних параметрів системи для знаходження потрібних показників якості.

•Приклад 5.1. Дослідити якість замкнутої системи, характеристичне рівняння якої

р4 + 2/?3 + II р2+ \ 5р+ 5(1 + /с) = 0,

за методом мінімального кореня знайти коефіцієнт підсилення розімкнутої системи /с, при якому відхилення регульованої величини від заданого значення за час т = 3,5 с не перевищувало б 5 % (т = 5 %).

Р о з в ' я з а н н я . Для виконання поставленої умови знайдемо необхідне значення мінімального кореня

254

! >. З. Наближені методи оцінки якості

Нове характеристичне рівняння після переміщення вертикальної

<к і вліво па величину | а , | = 0,85 матиме вигляд

(/> (),85)4 + 2 ( р - 0,85)3 + 11 ( р - 0,85)2 + 1 5 ( р - 0,85) + 5(1 + /с) = 0

ПІК) після перетворень

р4 - 1,56р3 + 10,2р2 - 1,84 р - 0,26 + 51с = 0.

Наявність від'ємних коефіцієнтів згідно з критерієм Гурвіца означає Піч І ііікість системи, що своєю чергою зумовлює неможливість виконання поставленої умови за будь-якого значення к.

Дослідимо дану систему за інших умов стосовно якості САР. Не - чай допустима тривалість перехідного процесу т = 20 с при т - 5 %.

Обчислимо значення мінімального кореня

Характеристичне рівняння відповідної системи, яка враховує перенос вертикальної осі вліво на відстань Н = 0,15, матиме вигляд

(р (),15)4 + 2{р - 0,15)3 + 11(р - 0,15)2 + 15 (/? — 0,15)+ 5(1 + /с) = 0.

Після перетворень воно запишеться так:

р4 + 1,4 р3 + 10,24/;2 + 11,8/7+3 + 5к = 0.

Дня перевірки стійкості системи використаємо критерій Гурвіца. При п 4 необхідна і достатня умова (крім додатного знака коефіцієнтів,

,іі і! відхилення регульованої величини в С А К , яке дорівнює 5 % від оча і кового значення .

255

прикладом цієї групи методів може бути розширена діаграма Виш нєградського (рис. 5.6), яка будується на основі розглянутої раніше діаграми (див. рис. 4.5).

На розширеній діаграмі виділяються чотири зони: І; II; III; IV, які відповідають різним виглядам коренів і їхньому розміщенню від носно вертикальної осі в комплексній площині коренів.

Зона IV, як відомо, задовольняє умову ХУ < 1. Її межею є рівнобічна гіпербола СД рівняння якої ХУ = 1, де X, У— параметри Виш нєградського. Цій зоні, яка є зоною нестійкого стану системи, відпо відає наявність коренів з додатною дійсною частиною (або дійсних додатних) в характеристичному рівнянні замкнутої системи.

Зони І, II, III у площині X— У є зонами стійкого стану системи, але їм відповідають різні види й розміщення коренів і, як результат, різний вигляд перехідних процесів.

Особливості розміщення коренів і вигляд перехідного процесу, що відповідає кожній зоні, показано на рис. 5.7. Розміщення в комплексній площині коренів наведено на рис. 5.7, а, б, в, а характеристики відповідних перехідних процесів — на рис. 5.7,

а\> б{, в{.

Можливі варіанти розміщення коренів, що відповідають нестійкій зоні IV, показано на рис. 5.7, г, д, е, є.

Зона І, межа якої КМВ (див. рис. 5.6), є зоною аперіодичних процесів. їй відповідають від'ємні дійсні корені характеристичного рівняння системи третього порядку р{, р2, Рз ( рис. 5.7, а, а,). Умова знаходження коренів у даній зоні

256

р3 + С{р2 +С2р+С3 = 0.

Зона II, межа якої АЖ/У, відокремлює зону монотонних процесів (рис 5.7, б, б1). Ближчим до вертикальної осі є дійсний корінь рх.

Рівняння межі зони має вигляд 2Х3 - 9ХУ + 27 = 0.

Розміщення коренів і вигляд перехідного процесу в зоні III, межа якої БМВ, показано на рис. 5.7, в, в{. Оскільки дійсний корінь р3 розміщується далі від вертикальної осі, характер перехідного процесу коливальний.

Умова знаходження коренів у зоні III

повнена кривими однакового ступеня затухання перехідного проце-

258

!>. З. Наближені методи оцінки якості

ІПроте за кратності кореня

іД/— відповідно відхилення регульованої величини і збурення;

Р\ )(Р~ Р2) — (Р~ Рп)>

259