Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Інший бажаний розподіл коренів характеристичного рівняння замкнутої системи на комплексній площині р є розподіл Баттерворта. Корені розміщуються на півколі з радіусом аз0 у лівій півплощині комплексної площини коренів. Кут між уявною віссю та лінією, проведеною через найближчий до неї корінь і точку перетину уявної та дійсної осей, дорівнює половині кута між сусідніми коренями. Значення коефіцієнтів характеристичного рівняння у формі Баттерворта подано в табл. 6.5.

Час перехідних процесів, що відповідають характеристичному рівнянню у формі Баттерворта, за ступінчастої вхідної дії менший порівняно з біномінальною формою, але у разі зростання порядку характеристичного рівняння за даного значення оз{) коливальність дешо підвищується. Якщо застосувати форму Баттерворта для системи другого порядку, то отримаємо характеристичне рівняння з коефіцієнтом демпфування л/2/2, що відповідає настроюванню на модульний оптимум.

360

6.13. Модальне керування

Коефіцієнти жорстких пропорційних зворотних зв'язків забезпечують керування усіма п коренями характеристичного рівняння, якто ці зв'язки здійснюються за усіма п змінними стану. У цьому разі п і псфіцієнтів характеристичного рівняння залежить від п коефіцієнті зворотних зв'язків, тобто маємо п рівнянь для визначення величин // зворотних зв'язків. Проте в більшості реальних задач можливо вимірювати та реалізувати зворотні зв'язки тільки за частиною змінних стану. У цьому разі для здійснення принципу модального керу- і і11 ня до жорстких зворотних зв'язків додаються диференціальні (і пучкі) зв'язки.

Наприклад, якщо в системі п-то порядку вимірюються тільки г імінних стану, то необхідно додати п - г гнучких зв'язків. Тоді зага- п.на кількість коефіцієнтів жорстких і гнучких зворотних зв'язків порівнюватиме кількості коефіцієнтів характеристичного рівняння, цю дає змогу визначити ці коефіцієнти та реалізувати принцип мода- •и.ного керування.

361

6.14

Керованість і спостереЖуваність

Керованість — одне з основних понять теорії керування, що характеризує можливість переведення керованої системи в заданий стан за допомогою керуючих дій. Сис-

тема вважається керованою, якщо існує така керуюча дія и(ї), що забезпечує переведення системи з довільного початкового стану х0 в довільний стан х(1 протягом скінченного часу.

Точніше визначення керованості сформулював Р. Калман на прикладі лінійної стаціонарної системи, що описується рівнянням

де А — матриця системи вимірності п х п; В — матриця входу вимірності пхт\ х{і)— вектор змінних стану; и (і) — вектор зовнішніх дій.

Рівняння (6.77) доповнюють рівнянням зв'язку між вектором змінних стану х(/)й вектором вихідних вимірюваних параметрів системи у(/):

Нагадаємо, що ранг матриці дорівнює найвищому порядку мінорів матриці, що не дорівнюють нулю.

Матриця /Г називається матрицею керованості. Вона складається з стовпців матриці В та добутків матриць АВ, А2В,..., А"~І В.

362

6.14.Керованість і спостережуваність

І Іри Ь22 Ф 0 ранг матриці К = 2, тому об'єкт повністю керований. Чі і по Ь22 = 0, то ранг матриці К = 1 й об'єкт не повністю керований, а і » ронаний лише за однією координатою.

Розглянемо тепер поняття спостережуваності і відновлюваності.

< ні гема називається цілком або повністю спостережуваною, якщо іс- н\< гаке/, (/ < ї{ < оо)? що за відомою інформацією про вихід у(т)і вхід їй і) системи для інтервалу і < т < ґ, можна визначити всі координа-

ііі пек гора змінних стану системи х(ї).

Проблема спостережуваності виникає в зв'язку з тим, що при ' шиезі систем зі зворотними зв'язками керування визначається як функція змінних стану. В загальному випадку ці змінні є абстрактниіи величинами і їх не можна вимірювати. Піддається вимірюванню (і посгереженню) вектор у(Г), координатами якого є вихідні величини. і вектор керуючої дії 1і(/). Вихідні величини функціонально по- м 'і і.іііі зі змінними стану, тому для реалізації керування зі зворотним їй ч іком виникає завдання визначення змінних стану за значеннями ш) що вимірюються.

363

З поняттям спостережуваності безпосередньо пов'язане поняття

про вихід у(/)та вхід и(У) системи для інтервалу /0 < т < і можна визначити всі координати вектора змінних стану системи х(/).

Для стаціонарних систем з повної спостережуваності випливає повна відновлюваність і навпаки, тому ці поняття можна не розрізняти.

Для лінійної стаціонарної системи, що описується рівняннями (6.77) і (6.78), критерій повної спостережуваності (відновлюваності)

дорівнює п. Це необхідна і достатня умова повної спостережуваності Калмана.

Якщо ранг матриці Я менше п, то система не повністю спостережувана: якщо ранг дорівнює нулю — повністю неспостережувана.

Відновлене значення вектора змінних стану називається його оцінкою. Пристрій, що забезпечує знаходження оцінки за вимірюваними векторами керування и(т) і вихідних параметрів у(т)для інтервалу і0 < т < називається спостерігачем.

Для спостерігача вектори керування и(/) і вихідної змінної у(і) є вихідними змінними.

для всіх у(/), />/ ( ) .

У рівнянні (6.82) У7, С, Н — матриці, а знаком «л» позначено оцінку вектора змінних стану.

Пристрій, що описується рівнянням (6.82), є спостерігачем повного порядку, оскільки його порядок збігається з порядком вихідної системи. Якщо спостерігач описується рівнянням, порядок якого

364

6.14.Керованість і спостережуваність

нижче за порядок вихідної системи, то він називається спостерігачем

наїженого порядку.

Визначимо матриці Г, О, Н. Для цього з рівняння (6.77) відніме- и> рівняння (6.82) й після підстановки у{і) згідно з рівнянням (6.78) чи іанемо

х - X = (А - СС)х -Ґх + (В- Н)и.

Матриця С дорівнює Ь, де Ь — довільна матриця, яка називаєть-

<і матрицею коефіцієнтів підсилення.

Після підстановки знайдених значень матриць у рівняння (6.82) рівняння спостерігача матиме вигляд

З останнього рівняння випливає, що математична модель спостерплча складається з моделі вихідної системи Ах + Ви і додаткового іо іанка, пропорційного різниці між вихідною змінною у та її оцін- і ою у = Сх. Структурну схему спостерігача, що відповідає рівнянню п- :М), наведено на рис. 6.39.

365

значається матрицею А — ЬС, де матриці А і Свідомі. Характеристичне рівняння матриці А — ЬС є характеристичним рівнянням спостерігача, а її власні значення — коренями характеристичного рівняння. Тому, визначивши характеристичне рівняння матриці А — ЬС і прирівнявши його до стандартної форми (6.75), коефіцієнти якої вибирають, виходячи з бажаного розміщення коренів на комплексній площині р, знаходимо параметри матриці Ь.

Контрольні запитання та завдання

366

Контрольні запитання та завдання

Глава ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ

п В СИСТЕМАХ ; АВТОМАТИЧНОГО

КЕРУВАННЯ

7.1

цілком визначені функції часу. Практично ж САК часто працюють в умовах, коли зовнішні дії мають випадковий характер. Як приклади таких дій можна навести опір руху електромеханічних об'єктів, коливання напруги живлення джерел енергопостачання електроприводів, випадкові перешкоди в регуляторах і вимірювальних пристроях тощо. В слідкувальних системах часто випадковою є також задаюча дія.

САК, що працюють в умовах випадкових збурень, можна проектувати, виходячи тільки з максимально можливих значень цих збурень. Проте, якщо ймовірність появи максимального значення збурення незначна, то до САК ставитимуться явно жорсткіші вимоги порівняно з тими, які випливають з реальних умов експлуатації. Значно кращі результати дає використання спеціальних методів, які враховують випадковий характер збурень і надають можливість визначити деяку усереднену поведінку системи.

Перед розглядом поведінки САК, яка перебуває під дією випадкових збурень, наведемо деякі необхідні відомості про випадкові величини, випадкові процеси та їхні ймовірнісні характеристики.

Випадковою називається величина, значення якої визначається неконтрольованими причинами і тому не може бути точно передбаченою. Якщо випадкова величина може набувати окремих значень лише зі скінченної множини її можливих значень, то вона називається дискретною випадковою величиною. Якщо ж випадкова величина може набувати усіх значень у певному заданому інтервалі, то вона називається безперервною випадковою величиною. Ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде конкретного, за-

368

7.1.Уявлення про випадкові процеси

\іалегідь визначеного значення, нескінченно мала, тобто ймовір- ніш, події р = 0.

Найважливішими ймовірнісними характеристиками безперерв- них випадкових величин є функція розподілу, щільність розподілу, міітематичне очікування, дисперсія.

Математичне очікування, або середнє значення безперервної випадкової величини, яке визначається за множиною її можливих значень, виражається через щільність розподілу за формулою

.і середнє значення квадрата безперервної випадкової величини —

V (формулах (7.2) і (7.3) М{} — символ усереднення.

Дисперсія Ох, яка характеризує розкид випадкових значень безперервної випадкової величини навколо її середнього значення, визна- ч а є т ь с я як різниця середнього значення квадрата і квадрата серед-

значення:

369