Teoriya avtomatichnogo keruvannya

де рь ..., рп — корені характеристичного рівняння замкнутої системи,

які називають полюсами передаточної функції.

Чисельник передаточної функції аналогічно можна подати у вигляді т співмножників (т < п) виразу кМ(р), де к — коефіцієнт передачі об'єкта за збуренням, а А1{р) — многочлен вигляду

Щр) = Ь,рт + Ь{ Рт~{ +... + Ьт_ 1 р + Ьт = Ь0 (р-р;)(р-р<)...(р-р>х

Де Р\і Рі-> Рз ~ корені чисельника передаточної функції, які назива-

ють нулями передаточної функції.

Тоді згідно з викладеним

х_ кЬ0 (Р ~ Р[ ) (Р ~ Рі ) - • - (Р ~ Рт ) ду;

Звідси випливає, що амплітуда перехідного процесу залежить від розміщення полюсів і нулів передаточної функції. Так, в ідеальному випадку при р1 = р;,р{ = р'2,р„ = р'т (у разі п = т)

хпер(0 = —^ А/, «о

При А/ = СОП8І система еквівалентна безінерційній (підсилювальній) ланці.

На основі викладеного можна стверджувати, що для швидшого затухання перехідного процесу потрібно, щоб полюси і нулі передаточної функції розміщувалися ближче один до одного.

Методи кореневих годографів. Кореневим годографом називають

характеристики в комплексній площині коренів характеристичного рівняння замкнутої системи, які дістають, поступово змінюючи деякі параметри від 0 до +

За допомогою кореневих годографів можна визначити взаємну залежність параметрів і коренів системи, тобто встановити, як впливає зміна параметра на величину і вигляд кореня, а отже, і на відповідні показники якості.

Існують різні методи побудови кореневих годографів. Крім кореневих годографів, у ТАК використовуються також так звані обернені методи, суть яких полягає в порівнянні коефіцієнтів дійсного рівняння системи з коефіцієнтами деякого еталонного рівняння. В результаті такого порівняння за розходженням значень коефіцієнтів рівнянь визначають якість реальної системи.

260

! >. З. Наближені методи оцінки якості

V спільному випадку рівняння лінійної замкнутої системи п-го Мі іридку

І.мнрівняння замінюють деяким стандартним рівнянням на осій ми введення оператора В = (со0 = 1 /Т\ Т — стала часу об'єкта) і її н'ммя всіх коефіцієнтів рівняння на а0; змінні х і/будуть функіи > їм (іс фозмірного часу т = со0г (г — реальний час).

< іапдартне рівняння матиме вигляд

(/)' і Ан_хОа-1 + ... + А1В + 1)х = (ВтО'" + В^И'"-1 + ...+ Д0)/,

/ Л .

Оскільки стандартна форма рівняння безрозмірна, то системи з - ім.імшими показниками якості, за винятком тривалості процесу, чи і ма досліджувати за одним і тим самим рівнянням.

• митарімій формі. Типові збурення використовують у теоретичних і « м м« рмментальних дослідженнях як деякі еталонні збурення, за »іі ими визначається реакція системи і робляться відповідні висновки мри м якість.

Існують такі основні типові збурення.

/ Одиничний кидок навантаження (одиничне збурення) — це різке

н н и.імення прийнятого за одиницю навантаження, що діє тривалий

• і- Ного умовне позначення 1(/) (рис. 5.10, а). Різкий скид одинич- ним. навантаження відповідає графіку на рис. 5.10, б.

/ Одиничний імпульс — типове збурення вигляду короткочасної мі н мміичного навантаження, яке визначається як Г(/)(рис. 5.1 І, а).

261

величина) (рис. 5.11, б). Такі типові збурення використовуються також при знаходженні частотних характеристик ланок.

Прикладом використання методів стандартних процесів може бути формула оптимального процесу, яку дістав В. В. Солодовніков:

го

/V)

Рис. 5.11

262

!>. З. Наближені методи оцінки якості

V.шлеме значення регульованої величини хопТ(°°) = ах2°п т . Для оп-

Vданому випадку дослідження проводилося за умови дії на сис-

иі\ деякого стандартного, одиничного збурення (одиничного кидка мли.мі гаження).

Метод стандартних коефіцієнтів дає змогу вибрати параметри мриск гованої системи таким чином, щоб дістати перехідний процес, цю иідмовідає стандартній системі.

Процес у реальній системі буде тим ближче до процесу в стан- I ІР11 і і 11 системі, чим ближче реальні коефіцієнти до відповідних коеФімн їм їй стандартної системи. Для практичного використання дано-

пні -іяду, найближчому (в ідеальному випадку — такому, що повністю II мі .и гься) до вигляду типової передаточної функції.

І.ік, при передаточній стандартній функції замкнутої системи НІН 'Міду

О" +Ап_10"~1 +... + А{0+ 1

І Ш ІМ ращими за величиною перерегулювання (а < 10 %) є коефіцієніп чі. і було знайдено з умови розподілу коренів за арифметичною н|ин рисіс ю (табл. 5.1).

263

аналогічні таблиці наведено також у підручниках з теорії автоматичного керування.

Для об'єктивності оцінки розглянутих методів слід зазначити, що деякі з них не тільки наближені, а й потребують досить трудомістких розрахунків.

Інтегральні методи оцінки якості. Інтегральними на -

зивають методи, при яких показники якості оцінюються за інтегралом, що є функцією перехідного процесу відхилення регульованої величини від заданого значення (похибки) або незбуреної складової хп е р (/)в розв'язку рівняння процесу регулювання

* ( О = * п е р ( О + * 0 -

За допомогою інтегральних критеріїв оцінюють відхилення регульованої величини і швидкодію системи.

Для оцінки перехідних процесів без перерегулювання (рис. 5.12, а) використовують інтегральний критерій вигляду

Він визначає площу, обмежену кривою хпер(/)за час перехідного процесу. Чим менша ця площа 5 = о|хпер (/>//, тим більша швидкодія

264

! >. З. Наближені методи оцінки якості

» м< ігми (ча однакових початкових умов хпер(0)). Тому параметри сисні п даному випадку слід вибирати з умови

інастроювальний параметр системи.

Рис. 5.12

І -ія розрахунку інтеграла (5.9) В. С. Кулебакін запропонував таку ч<- шлику.

'> рівняння незбурених коливань системи

• є ім-чідного процесу при ї = оо дорівнюють нулю, можна дістати

265

(5.10)

а„

Із останньої формули випливає, що інтегральний критерій залежить від параметрів ланок системи, початкових умов і (п - 1) похідних від початкових умов.

Для перехідних процесів із перерегулюванням знайдений критерій не можна використовувати, бо мінімум інтеграла (площі) згідно з (5.10) відповідатиме гармонічним коливанням. Тому для оцінки якості коливальних процесів користуються квадратичним інтегралом, який враховує абсолютне значення «додатних» і «від'ємних» площин:

Існують різні методи обчислення квадратичного інтеграла. Розглянемо формулу, запропоновану А. А. Красовським:

1

де А — визначник п-го порядку, складений з коефіцієнтів а„, ..., о, лівої частини рівняння процесу регулювання — характеристичного рівняння замкнутої системи (або знаменника передаточної функції),

2 6 6

5.3.Наближені методи оцінки якості

Визначники А0 ,..., А,и, або в загальному випадку визначник А/с, можна дістати з основного визначника А заміною стовпця т- /с + 1 » ювпцем

<*п

0

о

І Іаприклад, для знаходження визначника Ат у визначнику А слід ьімінити перший стовпець (т - т + 1 = 1), після чого дістанемо

пг />„,..., Ьт — коефіцієнти правої частини рівняння замкнутої системи (або чисельника відповідної передаточної функції).

мри різних значеннях п (до п = 10). Для значення п = 1...5 такі дані на- и« кчіо в табл. 5.2.

2а0аЛа2

2 67

+а 0т2).

К р і м розглянутих, відомі й інші види інтегральних о ц і н о к (кри - теріїв).

•П р и к л а д 5.2. Визначити коефіцієнт підсилення системи, який забезпечить мінімум квадратичної інтегральної оцінки при одиничному вхідному сигналі, я к щ о передаточна функція замкнутої системи після перетворень має вигляд

Ф(р)- І^Т2 + р(Т, +Г2)+ 1 р%Т\ + //(7; +Т2)+ р + к9

де 7] =0,01 с ; Т2 = 0 , 0 3 с.

Р о з в ' я з а н н я . В даному разі п - 3. Знайдемо значення коефіцієн-

тів а0, ах,а2,аг і Ь0, ЬІ9Ь2:

Ь0 =а0 =Т1Т2 = 0,01 • 0,03 = 3 • 10~4;

З табл. 5.2 для н = 3 знаходимо

268

! >. З. Наближені методи оцінки якості

_ 0(Р\ -ксі^а] -аУс _ аЛ -кщ -а0)

Визначимо частинну похідну дІ2/дк і прирівняємо її до нуля:

Підставивши числові значення коефіцієнтів, дістанемо квадратне рівняння

к2 - 65,5/: — 41 -102 = 0,

жідки знайдемо оптимальне значення коефіцієнта підсилення роіімкнутої системи: кош ~ 37.

Частотні методи оцінки якості САР. Частотні методи

ми пджепня, які дістали найбільше поширення на практиці, базу- і'ни я на математичній залежності характеристики перехідного проНіч'У \(/) від дійсної (суттєвої) частотної характеристики замкнутої

• т і е м и за збуренням і//(со)(або за заданим сигналом). В основі до- П1 і- пня цієї залежності лежить відоме положення, що будь-яку пери» •пічну обмежену дійсну функцію, яка має скінченну кількість розрити і екстремумів, можна розкласти в нескінченний ряд синусо- I I.І п.них функцій — ряд Фур'є.

І Іри доведенні функціональної залежності

х ( 0 = Л ^ / ( ш ) ]

иичидять з того, що в системідієє збурення у вигляді одиничного кид-

і і іиурення 1 [ї], яке розкладаєтьсяя вврядряд<Фур'є.

І і результаті цього доведення і досить складних перетворень і.шлемо відому залежність

'Іпісну частотну характеристику замкнутої системи за збуренням і (<и) знаходять з виразу відповідної передаточної функції замкнутої І ІИ І є ми

1 + ИУ(р)

2 6 9