Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Умова знаходження САК на межі стійкості така: ХУ = 1. Враховуючи, що х = С,Д/С7, а у = С 2 Д / с Г , ця умова матиме вигляд

відповідає критичному значенню цього параметра, знайденому раніше за допомогою критерію Гурвіца.

4.5

Критерій Михайлова, запропонований в 1938 р., є досить зручним для аналізу лінійних систем,

особливо високого порядку (/7 > 5) .

Оцінка стійкості системи за даним критерієм виконується на основі характеристики (годографа) Михайлова, яка будується таким чином.

1. У характеристичному рівнянні замкнутої системи

а0рп + ах р"~ 1 +... + ап_{р+ап = Цр)

виконують підстановку р- уш, де у = V-!, після чого вираз годографа Михайлова дістають у вигляді

2.У виразі Душ) виділяють дві частини — дійсну А(о) і уявну В(со).

Уцьому разі годогра(|) Михайлова набуває вигляду

190

4.5. Частотні критері'і стійкості. Критерій Михайлова

І лгжить на дійсній осі праворуч від нуля, обертаючись проти годинникової стрілки

і ніде не перетворюючись на нуль, пройшов послідовно п квадрантів комплексної

я

площини, повернувшись на кут — п.

Приклади годографів Михайлова стійких і нестійких систем по- і а іано відповідно на рис. 4.7, а і б.

Характеристики на рис. 4.7, а відповідають системам з різними

іичіенями п характеристичного рівняння. На рис. 4.7, бкриві 7, Зі 4

<характеристиками нестійких систем. Крива 2 — 2' відповідає не-

• 1111 к і і і системі, оскільки не витримується принцип послідовності

опчоду квадрантів комплексної площини, а крива 2 — 2"' — стійкій « неіемі при п = 4.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження юлографа Михайлова через початок координат комплексної гіло-

ЩІПІП.

Запас стійкості системи може характеризувати відстань від точки перетину годографом Михайлова дійсної осі до початку координат у ра и єіііікої системи (відстань 0' — 0 на рис. 4.7, б).

191

Рис. 4.7

Аруге формулювання (наслідок) критерію Михайлова.

Перевага цього методу дослідження стійкості порівняно з основним формулюванням полягає в тому, що дає змогу визначити стійкість системи за взаємним розміщенням дійсної Доз) і уявної 5(со) складових без побудови самого годографа Михайлова. Крім того, друге формулювання критерію Михайлова є зручнішим для знаходження запасу стійкості за деяким параметром.

Розглянемо особливості взаємного розміщення дійсної й уявної складових Дсо)і £(со)для стійкої (рис. 4.8, а) і двох нестійких (рис. 4.8, б, в) систем.

Характерною рисою стійких систем і їхня відмінність від нестійких є переміжний характер розміщення точок перетину осі со дійсною Дсо)і уявною 5(со) складовими годографа Михайлова. Переміжний характер перетину характеристиками Дсо)і £(со)осі со на рис 4.8, б, в відсутній.

Як зазначалося раніше, при знаходженні системи на межі стійкості годограф Михайлова проходить через початок координат. У цьому разі розміщення А(оо) і #(со) відповідає кривим V і 1" на рис 4.8, г, які перетинаються в одній точці со2 на осі со.

Якщо система стійка, то вигляд годографа Михайлова відповідає кривій 2 і кривим /' та /" на рис 4.8, г. У цьому разі запас стійкості характеризує відстані між точками со2 і со2 на осі со.

192

6

г

Рис. 4.8

Критичне значення певного параметра системи можна знайти з умови перетину характеристик Л(со) і £(со) в одній точці на осі со.

Частоту, за якої характеристики А(со) і В(со) перетинаються на осі

со, н а з и в а ю т ь критичною частотою.

Рис. 4.9

Згідно з викладеним наслідок критерію Михайлова можна сформулювати таким чином:

| для стійкості замкнутої системи корені поліномів дійсної >4(со) і уявної £(со) частот- 1 них складових годографа Михайлова мають бути дійсними (мати точки перетину з І віссю со) і переміжними.

Приклад аналізи стійкості за допомогою критерію Михайлова. Визначимо стійкість розглянутої раніше САР стабілізації напруги генератора постійного струму.

Нехай значення параметрів системи такі: Тг = 0,01 с; Гд = 0,02 с; /<р = 250. Використаємо основне формулювання критерію Михайлова.

Після підстановки р= усов характеристичне рівняння

дістанемо вираз годографа Михайлова для даної системи:

194

4.5. Частотні критері'і стійкості. Критерій Михайлова

Дійсна і уявна складові після підстановки числових значень параметрів матимуть вигляд

А(со) = 250 - (0,01 + 0,02)со2 = 250 - 0,03со2;

В(со) = со - 0,01 • 0,02 • со3 = со (1 - 0,0002со2).

Для скорочення розрахунків під час побудови характеристики

Знайдемо координати точок перетину годографа Михайлова з вертикальною віссю з умови Л(ш) = 0. При цьому

М 'ія розрахунків беремо со3 = +91.

Ордината точки перетину Дш)з вертикальною віссю 5(00)3 = 91(1 - 0,0002 • 912) = 91(1 - 1,66)= -31.

Результати розрахунків наведено в табл. 4.1.

Годограф Михайлова, побудований за цими даними, відповідає нестійкій системі (рис 4.9, а).

Аналогічні дослідження виконаємо для значень параметрів: Гг =Тй = 0,01с; кр = 125.

'{робимо розрахунки:

А(со)= 125 - (0,01 + 0,01)ю2 = 125 - 0,02со2;

В(ш) = со(1 - 0,01 • 0,01ш2) = со (1 - 0,0001 • со2).

Результати обчислень наведено в табл. 4.2.

195

Нехай значення параметрів такі: Тг = 0,01 с; Гд = 0,02 с; кр = 250. Побудовані за даними табл. 4.1 характеристики Л(со), 5(со) показано на рис. 4.11, а. Корені виразів А(со), В(оо)є дійсними, але принцип

перемежування коренів не виконується, що відповідає нестійкій системі.

Характеристики, знайдені при значеннях параметрів Тг = 0,01 с; Гд = 0,01 с; кр = 125 і побудовані згідно з даними табл. 4.2, які відповідають стійкій системі, показано на рис. 4.10, б.

Рис. 4.10

196

4.5. Частотні критері'і стійкості. Критерій Михайлова

{найдемо критичні значення коефіцієнта підсилення розімкнутої мегоми (кр)кр і запас стійкості при значеннях параметрів Тг = Тй =

0,01 с.

Врахувавши вигляд частотних характеристик, запишемо складову п< ннрафа Михайлова

Л(а>) = *р ~(ТГ + Гд)ш2.

І Іараметр кр входить до виразу А(со). Тому його критичне значеним можна визначити з умови Дсокр) = 0. З урахуванням числових знамень сталих часу дістаємо

І Іри даному значенні частоти обидві складові Дсо) і В(со) перетина і ймуться в одній точці на осі со (рис. 4.10, б, штрихова лінія), тому

(/ср)кр = 0,02-1 ОО2 = 200.

ІІри к = 125, яке було прийняте у зроблених раніше розрахунках

івиповідало стійкому стану системи, знайдемо запас стійкості сис-

іеми:

Зст = ( * „ ) „ , - * , = 2 0 0 - 125 = 75.

197

4.6

При розробці САР важливо встановити вплив окремих параметрів (або параметра) на стійкість системи за фіксованих значень інших параметрів. При цьому необ-

хідно встановити зони параметрів, у яких їхня зміна не призводить до нестійкої роботи системи.

Дане завдання можна вирішити за допомогою розглянутих вище критеріїв стійкості, але зі зростанням порядку системи рівнянь розрахунки різко ускладнюються.

Ю.Д. Соколов і Ю.І. Неймарк запропонували метод, який дає змогу знайти зазначену вище зону в площині одного або двох параметрів. Основу методу становить дослідження полінома О(р), який відображує характеристичне рівняння замкнутої системи, зведене до вигляду, коли коефіцієнт сі() у характеристичному рівнянні дорівнює одиниці:

Можна уявити деяке я-мірне середовище, по координатних осях якого розміщуються коефіцієнти характеристичного рівняння (або параметрів ланок системи). У цьому разі середовище називають середовищем коефіцієнтів (параметрів). Кожній точці такого середовища відповідає певне значення всіх п коефіцієнтів (параметрів), які визначають п коренів характеристичного рівняння.

При деякому значенні коефіцієнтів система може бути на межі стійкості (якщо корені нульові або чисто уявні). Тому відповідна точка в просторі параметрів у цьому разі має задовольняти рівняння

Душ) = (уш)" + ах (уш)"-1 + ... + 1 (уш) + ап = 0.

Якщо змінювати параметри системи, то корені змінюватимуться і переміщуватимуться на комплексній площині коренів і за деяких значень параметрів (коефіцієнтів характеристичного рівняння) можуть переміститися з лівої частини площини коренів у праву, що призведе до нестійкої роботи системи, або, навпаки, переміститися з правої напівплощини коренів у ліву, в результаті чого нестійка система стане стійкою.

198

І

Л.6. Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод О-розбиття)

<)гже, переміщення коренів зумовлено рухом відповідних точок в

пвимірному просторі параметрів (коефіцієнтів).

Для практичних цілей важливо встановити зони значень парамеірів, які відповідають положенню коренів на межі стійкості, і зони иі ачень параметрів, що відповідають стійким системам. Поділ простру коефіцієнтів (параметрів) на відповідні зони і є основною мети» методу /)-розбиття.

Гак, нехай параметри, які нас цікавлять, входять до складу де-

ііи\ коефіцієнтів рівняння. Якщо змінювати один з параметрів Тх,

іо імішоватимуться всі коефіцієнти, які є функціями цього парамет-

ра Годі кожному новому значенню Тх відповідатиме п нових коренів по ипома О(р) = 0, положення яких у комплексній площині коренів ьімежить від числових значень параметра Тх і, як результат, — значень відповідних коефіцієнтів.

й-розбиття за одним параметром. Розглянемо метоіику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Тх.

Знаходимо комплексний вираз параметра Тх, використовуючи н і ас гановку р = уш, і виділяємо його дійсну А(ю) і уявну Дш) складові:

Тх = Л(ш) + уДш);

/, с гановить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів

/іа яких система перебуває на межі стійкості. Така характеристика

4. Н комплексній площині параметра И за правилом штриховки І Г іімарка знаходимо зону стійкості.

цю в разі руху в комплексній площині коренів характеристичного рівняння уздовж вертикальної (уявної) осі, яка є межею стійкості в и іоїцппі коренів, від -оо до +оо? зона стійкості знаходитиметься зліва їй і пер шкальної осі.

199