Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Часову характеристику наведено на рис. 3.4. Вона визначається сумою двох експонент, що і зумовлює назву ланки.

Згідно з формулою Ейлера соя рі + у зіп р/;

е~і[и = соя р/ - у зіп Рі.

Замінюючи показникові функції на тригонометричні, після нескладних перетворень дістанемо

де С1 + С2 = А; С, - С2 = В; В = 4а2 + В2 — амплітуда гармонічних

Часову характеристику, що відображує затухаючий коливальний процес і побудову згідно з рівнянням (3. 18), наведено на рис. 3.5.

Тривалість перехідного процесу іп ~ З Т\ де Т' — стала часу апроксимуючої експоненти, показаної штриховою лінією, що залежить від дійсної складової комплексного кореня:

80

3.1.Типові елементи (ланки) систем

~автоматичного керування

Т,= 27? .

Т2 мри першій похідній.

При Т2 < 2Г, елемент другого порядку є коливальним, а при Т2 > > 2Г| — аперіодичним.

Рівняння ланки другого порядку можна записати також у дещо іншому вигляді:

(Т2р2 + 2^Тр + 1)хвих = кхах,

де Т = Тх; £ = Т2/2Т{ — декремент затухання або коефіцієнт демпфування.

Залежно від величини £ ланка другого порядку різко змінює свої властивості. Згідно з цим, при 0 <£< 1, ланку називають коливальною.

Якщо £ = 0, ланку називають консервативною.

Часова характеристика даної ланки визначається розв'язком характеристичного рівняння, який при суто уявних коренях матиме вигляд

або

*вих = кх»х [С1 (соз РІ + ] ЗІ 11 РО + С2 (соз Рі - ] зіп РО + 1] =

=£хвх[1 + Язіпфґ + ф)].

ІІри цьому хвих є коливанням зі сталою амплітудою О при куті зсуву відносно початкової точки і = 0, що дорівнює ф.

Прикладом ланок другого порядку можуть бути каскадні магнітні підсилювачі, електромеханічні підсилювачі поперечного поля та двигуни постійного струму.

81

•П р и к л а д 3.2. Вивести рівняння двигуна постійного струму з незалежним збудженням.

Р о з в ' я з а н н я . Вихідною величиною в даному разі буде швидкість аз, яка регулюється зміною напруги и, що подається в якірне коло двигуна. Таким чином, треба встановити в динаміці залежність ш = /(и) . Запишемо рівняння електричної рівноваги для якірного кола двигуна, маючи, зокрема, на увазі, що вдвигуновому режимі напруга живлення обчислюється за формулою

де М ш ш , Мд в , МСТ — відповідно динамічний, двигуновий і статичний моменти двигуна. Коли статичний момент невеликий, тобто Мс т ~ 0, то можна записати

, СІ(Х)

~Г = Сі Ія >

СІІ

звідки

^ сім сі СІІ

де /— момент інерції двигуна; сі — стала струму.

Підставляючи знайдене значення /я в рівняння електричної рівноваги кола якоря двигуна, після деяких перетворень дістанемо

82

3.1.Типові елементи (ланки) систем

~автоматичного керування

ному співвідношенні параметрів буде аперіодичною ланкою другого порядку, а в противному разі — коливальною ланкою.

Інтегрувальні (астатичні) ланки. Рівняння динаміки панок даного типу має вигляд

Часову характеристику наведено на рис. 3.6. Вона показує, що при /—>00 хвмх —> <~за умови, що на вході ланки існує вхідна величи-

на (хах ф 0).

Прикладом інтегрувальної (астатичної) ланки може бути гідравлічний серводвигун (рис. 3.7).

Вхідною величиною елемента хвх є переміщення золотника 3, а вихідною хвих — переміщення поршня П. Поршень рухається під тиском масла (2, яке надходить, залежно від положення золотника, у верхню або нижню порожнину циліндра серводвигуна СД. Швидкість переміщення поршня ув пропорційна кількості масла 0, що надходить у відповідну порожнину циліндра.

83

СІІ

Своєю чергою кількість масла в циліндрі пропорційна величині

сіх

хвх — відхиленню золотника. Тому 0 = с2хпх, звідки —— = с]с2хвх.

сіі

Зінтегрувавши праву і ліву частини рівняння, дістанемо

Аифєрєнціювальна ланка. В ланках цього типу вихідна величина залежить від швидкості зміни вхідної. При сталому значенні вхідної величини вихідної величини не буде.

Рівняння динаміки елемента

84

3.1.Типові елементи (ланки) систем

~автоматичного керування

Рис. 3.8 Рис. 3.9

Від класичного вигляду дане рівняння відрізняється наявністю в лівій

Деференціювальні елементи використовуються в системах автоматичного керування для демпфування коливань та поліпшення якості перехідних процесів.

вихід л а н к и з д е я к и м з а п і з н е н н я м т. У багатьох випадках коефіцієнт

85

Крім розглянутих типових ланок, що відрізняються виглядом диференціальних рівнянь та значенням коренів характеристичного рівняння, можливі деякі інші підходи до класифікації ланок, які розглядатимуться далі.

3.2

Приклад складання рівняння тиристорного перетворювача (підсилювача) як ланки із запізненням

Неперервний сигнал керування £/их, що надходить до тиристорного перетворювача (ТП), подається насамперед до системи імпульсно-фазового керування (СІФК), яка є

частиною ТП. За її допомогою сигнал перетворюється на послідовність керуючих імпульсів, які формуються генератором імпульсів і мають відповідне відхилення за фазою щодо моменту відкриття тиристора. Змінюючи величину відхилення фази керуючих імпульсів, тиристорний перетворювач виконує зворотне перетворення дискретних сигналів на кусково-негіерервний сигнал вихідної величини итіХ або /Ш1Х, який подається в якірне коло двигуна Д.

При точному розгляді процесів, що відбуваються в тиристорному перетворювачі, він має розглядатись як нелінійний дискретний елемент системи керування. Досить точне математичне описання його можливе на основі теорії систем з широтно-імпульсною модуляцією другого роду (ШІМ). Це складно, і тому в практиці ТАК використовується, як правило, спрощене уявлення про процеси, що відбуваються в ТП.

Згідно з теоремою Котельникова, тиристорний перетворювач без втрат інформації пропускає сигнали, частоти яких менші за граничну частоту

8 6

де т — кількість фаз перетворювача; оом = 2я/ — частота напруги мережі; / — частота в герцах.

Якщо частота проходження дискретних імпульсів оо/ = — < шгр,

де ТІ — період квантування, то ТП можна лінеаризувати (апроксимувати) лінійною безінерційною ланкою з коефіцієнтом підсилення

к т .п •

При такому підході треба мати на увазі, що при значному зростанні коефіцієнта підсилення системи з ТП у замкнутому колі для збільшення швидкодії і статичної точності САК можливе виникнення небажаних автоколивань з частотою граничної гармоніки шф.

Важливою особливістю ТП є також явище неповної керованості. Воно полягає в тому, що при зміні кута керування тиристором ос з частотою, більшою за сом , і при — > сом процеси в ТП при збільшенні

сіі

і зменшенні кута а відбуваються по-різному.

При зменшенні кута напруга и на виході ТП повністю залежить сіос с1

від а (і), а при збільшенні а(/) і — > сом комутація тиристора не відбуде

вається. При цьому ис1 не є функцією а (і), а є відрізком синусоїдальної анодної напруги вентиля, який було відкрито в останній момент зміни кута керування.

вхідними і вихідними величинами тиристора, що потребує відповідного математичного відображення.

Невідповідність вхідних і вихідних величин у даному випадку є причиною появи фазових зміщень при гармонічних змінах вхідної

87

субгармоніках з великою амплітудою і порівняно невеликою частотою. Такі автоколивання можуть призвести до перевантаження окремих елементів ТП і різкого зменшення його надійності.

Щоб зменшити негативний вплив можливих автоколивань, обмежують швидкість зміни вхідного сигналу керування иах(ї), який визначає швидкість зміни кута керування а(У). Для цього на вході СІФК ТП підключають аперіодичну ланку, яка в реверсивному електроприводі має також обмежувати динамічний зрівнювальний струм, що виникає між випрямляючою та інвертуючою групами вентилів і може в багато разів перевищувати статичний зрівнювальний струм. Внаслідок цього обмежувальні реактори, розраховані на статичний зрівнювальний струм, можуть бути насичені його динамічною складовою, і зрівнювальний струм досягне аварійного значення. Щоб уникнути такої небезпеки, стала аперіодичної обмежувальної ланки на вході СІФК має знаходитися в інтервалі 0,006...0,01 с при промисловій частоті сом = 2 • 3,14 • 50 = 314 1/с.

Процеси, що відбуваються за різних варіантів зміни вхідного сигналу ТП, досить складні і не завжди передбачувані. Тому різні автори дискретний процес керування і неповної керованості тиристорів трактують по-різному.

В даному випадку, орієнтуючись на роботу ТП у режимі безперервного струму, розглядатимемо ТП як елемент, що складається з двох послідовно з'єднаних ланок: лінійної безінерційної з коефіцієнтом підсилення к у и і ланки чистого запізнення із запізненням т.

Рівняння динаміки згідно з викладеним вище матиме вигляд

Розклавши функцію е~хр в степеневий ряд і обмежившись двома першими членами, дістанемо рівняння підсилювача:

де т — середньостатистичне запізнення.

88

3.3.Передато чні функції

та частотні характеристики

3.3

Передаточні функції та частотні характеристики

Теоретичне визначення передаточної функції випливає з відомого перетворення Лапласа, згідно з яким деяка функція часу /(і) — оригінал — може бути перетворена на

функцію комплексної величини яка є зображенням відповідного оригіналу. Формула прямого перетворення Лапласа

о

Використовуючи розроблені методи перетворення, теореми і формули, забезпечимо розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь, дотримуючись відповідних дій над зображеннями. Потім на основі зворотного перетворення Лапласа перейдемо до дійсної функції-ори- гіналу. Формула зворотного перетворення Лапласа, яке позначається

матиме вигляд

я*)=ігі[т].

Передаточні функції при використанні перетворень Лапласа представляють як відношення зображень вихідної і вхідної величин:

При нульових початкових умовах передаточну функцію можна подати на основі запису відповідних величин в операторній формі. Тому в теорії автоматичного керування передаточну функцію часто записують так:

При цьому виходять із рівняння ланки в загальному вигляді

де <2(р), Р(р)— відповідні оператори правої та лівої частин рівняння ланки.

89