Teoriya avtomatichnogo keruvannya

Черговий злам відбувається на частоті со2 = 1/0,1, яка визначається співмножником (0,1р+ 1), тому нахил характеристики змінюється на +20 д Б / д е к і становить - 2 0 дБ/дек . На частоті со6 = 1/0,05 також відбувається злам і нахил характеристики становитиме - 40 дБ/дек . На частоті

- агсі§ 2,5со - агсІ§ 0,05со.

Результати розрахунків наведено в табл. 4.6, а характеристику ф(со) — на рис. 4.24.

Таблиця 4.6

Із побудованих характеристик визначаємо фазу на частоті зрізу: ф(со,) = -120°. Розімкнута система стійка, бо вона являє собою послідовне з'єднання стійких ланок. Тому на підставі формулювання критерію для систем, стійких у розімкнутому стані, робимо висновок, що замкнута система стійка.

230

4.9.Дослідження стійкості систем із запізненням

4.9

АослідЖення стійкості систем із запізненням

Уланках із запізненням вихідна величина з'являється через деякий проміжок часу т після появи

і" іичиїїп на вході ланки.

І Ісредаточна функція і АФХ ланки із запізненням мають вигляд

м и і;ш і и в основне (пряме) коло послідовно з іншими ланками регулятора ин, ичодити в коло зворотного зв'язку (рис. 4.25, а, б), де IV(р)— передаіичн.і (функція розімкнутої системи без урахування ланки із запіз- н» пням, а ^з (р) — передаточна функція ланки із запізненням.

Передаточна функція розімкнутої системи з урахуванням запізін иіиі (рис. 4.25, а)

IVх (р) = \У,(р)№{р) = \У(р)е~тр.

Якіцо в системі є кілька ланок із запізненням (наприклад, т, і т2),

ю

ІГТ(р) = Ж(р)е~р{Ті+Х2).

()тже, кілька ланок із різним запізненням можна замінити еквіва- і- п і пою ланкою із запізненням т = т, + т2.

І Ісредаточна функція замкнутої системи за завданням у(і) у цьо-

Івипадку матиме вигляд

231

Якщо ланка із запізненням входить до кола зворотного зв'язку (рис. 4.25, б), то передаточна функція за завданням

Згідно із виразами (4.42), (4.43), незалежно від місця знаходження ланки із запізненням, характеристичне рівняння замкнутої системи

Це рівняння є трансцендентним і має нескінченну кількість коренів, які для стійкої системи мають розміщуватися у лівій площині коренів. Знаходження коренів у цьому випадку — трудомістке завдання, тому для аналізу стійкості таких систем найприйнятнішим є використання частотного критерію Найквіста.

Для зручності усю структурну схему лінійної САК із запізненням приведемо до вигляду двох послідовно з'єднаних ланок: однієї без

запізнення з передаточною функцією Н/1 (р\ а іншої — із запізненням

Ж3 (р) = е~хр.

Якщо в передаточній функції розімкнутої системи

IV(р) = IV, (р)е~г"

покласти, що х —» 0, то можна дістати передаточну функцію так званої граничної системи IV, (р):

Нт Щр) = жг(р),

де IV, (р) = IV, (р)е-хр = IV, (р{.

Отже, під граничною розімкнутою системою розуміють систему, в якій запізнення зменшується до нуля і ланка з запізненням перетворюється на деяку безінерційну ланку з коефіцієнтом передачі, що дорівнює одиниці.

Згідно з викладеним вище, АФХ розімкнутої системи із запізнен-

Запишемо АФХ розімкнутої системи з запізненням у показниковій формі:

232

НН ІІІСЧІНЯ для даної частоти, є со,т. Оскільки запізнення на кут со,т ї м иіачас від'ємний знак цього кута, який відкладається за годинни-

233

частоти со2, при якій вектор граничної характеристики Ах (со2) дорівнює одиниці, а також й інші точки характеристики ]¥х(усо)розімкнутої системи.

З наведеного графіка бачимо, що зростання запізнення зменшує запас стійкості системи. Зі збільшенням частоти кут запізнення починає швидко зростати, бо модуль граничної характеристики при цьому зменшується. Це призводить до закручування характеристики V/т(усо) навколо початку координат. Проте при деяких складних характеристиках Ж(усо) можливі випадки, коли запізнення позитивно впливає на роботу системи. Змінюючи величину т, можна знайти його критичне значення, при якому характеристика V/т(усо) проходитиме через точку С(-1, у'О). Відповідну частоту при цьому називають

критичною.

4.10

Структурно-нестійкі системи

ікоректувальні ланки

В усіх розглянутих раніше випадках стійкість (або нестійкість) системи залежала від значення параметрів ланок структурної схеми існуючої системи. Системи автома-

тичного керування, в яких стійкість залежить лише від значення параметрів ланок, називають структурно-стійкими. Але є такі САК, у яких досягти стійкості за рахунок зміни параметрів ланок принципово неможливо. Стійкість цих систем може бути досягнута лише у разі зміни структурної схеми.

Системи автоматичного керування, в яких стійкість не може бути досягнута за рахунок лише зміни параметрів, називають структур-

но-нестійкими.

Для пояснення викладеного розглянемо окремий приклад. Нехай в САК є дві інтегрувальні ланки і одна аперіодична ланка

першого порядку. Дістанемо характеристичне рівняння замкнутої системи і дослідимо стійкість системи.

234

4.10.Структурно-нестійкі системи

ікоректувальні ланки

ірактсрпстичне рівняння замкнутої системи в загальному вигляді

і»- А /с|/с2/сз — коефіцієнт підсилення розімкнутої системи. Характеристичне рівняння третього порядку в загальному вигляді

с/0/?3 + сі{р2 + сі2р + <73 = 0, і йму для цього випадку значення коефіцієнтів

а0 = Г3; а{ = 1; а2 = 0; а3 = /сх.

V даному разі не виконується перша умова Гурвіца про те, що всі і пгфіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи мають (>\ пі більшими за нуль, тому система буде нестійкою.

І Іри цьому, як би ми не змінювали значення параметрів а0,а{, / дістати а2 > 0 немо>і<ливо. Тому дана система є структурно-не-

• і ііі кою.

На основі розглянутого прикладу можна зробити деякі узагальнений.

І Зовнішньою ознакою структурно-нестійкої системи є відсутні» іь (рівність нулю) в лінійному характеристичному рівнянні зачі нуіої системи деяких членів (коефіцієнтів).

і і ііікими.

Для досягнення стійкості необхідна зміна структурної схеми

іі І>\ і і урно-нестійкої системи.

Чия зміни структурної схеми, як правило, використовуються ко- |мч іувальні ланки. Вони бувають двох типів — паралельні та по-

I 'Н/ІОВПІ.

235

тувальні ланки використовуються місцеві жорсткі від'ємні зворотні зв'язки.

Охопимо одну із інтегрувальних ланок розглянутої системи жорстким від'ємним зворотним зв'язком (рис. 4.27) і складемо рівняння (передаточну функцію) даної ланки з урахуванням введеного

Знайдемо фактичне значення вхідної величини при введенні паралельної коректуваль-

ної ланки з коефіцієнтом зворотного зв'язку (3 = х31і3/х{ вих:

* в х = Х \ вх ~~ Хзи.з = Х \ вх ~ Р - ^ І вих •

Рівняння ланки з урахуванням зворотного зв'язку

або

* І В И Х ( / > + Р М = М І . І Х -

Позначивши 1//с,(] = Т{, 1/(3 = /<,', після ділення всіх членів на рк{ дістанемо рівняння інтегрувальної ланки, охопленої від'ємним зворотним зв'язком:

(Т{р+ 1)х1имх = к(х{ их.

З цього виразу видно, що інтегрувальна ланка, охоплена від'єм-

236

4.10.Структурно-нестійкі системи

ікоректувальні ланки

іІі'редаточна функція інтегрувальної ланки, охопленої зворотним м/м мінім зв'язком,

7 > + 1

Характеристичне рівняння замкнутої системи з двома інтегрува- и.ними ланками з урахуванням охоплення першої інтегрувальної 'і,інки шоротним від'ємним зв'язком запишеться у вигляді

ппійкою.

Підкреслимо, що структурна стійкість системи не зумовлює її <»(х ж'изкову стійкість при всіх значеннях параметрів. Для визначення

• і ііікості слід перевірити виконання необхідної другої умови за Гуриіпсм, яка в даному разі має вигляд А2 > 0 (можна скористатися й іншими методами дослідження стійкості).

Послідовні коректувальні ланки. П о с л і д о в н о ю коректу-

и.пі і.пою ланкою називають ланку, за допомогою якої на вхід наступної манки подається величина, пропорційна швидкості зміни вихідної величини попередньої ланки.

( іруктурна схема системи, що розглядалася раніше, при введенні послідовної коректувальної ланки матиме вигляд, показаний на рис 4.29.

237

ТутхІШІХ = х2 в х , тому передаточну функцію ланки И^2(р)після введення коректувальної ланки можна записати так:

Отже, дана система завдяки введенню послідовної коректувальної ланки перетворилася на структурно-стійку систему.

Передаточна функція розімкнутої системи до введення послідовної коректувальної ланки мала вигляд

Після введення послідовної коректувальної ланки передаточна функція розімкнутої системи

№К(р) = 1УІ(р)Щ(р)Ж3(р) =

= IV, (р)\¥2(р)(\ + ар)ІУ,(р) = IV(р)(\ + ар),

де Ж2'(/>) — передаточна функція ланки 2 з урахуванням коректування.

238

4.10.Структурно-нестійкі системи

ікоректувальні ланки

Відповідний вираз АФХ запишеться так:

ІГК (/со) = Ж ( у с о ) ( 1 + у а о о ) = Ж ( у і о ) + у Ж ( с о ) а с о .

І м и ІКк (уш) (вектор АФХ скорегованої системи) можна представити Ч І\ гуму двох векторів відповідної розімкнутої системи: до коректу- п.ииія IV 0(0) і вектора у'И/(а))асо, повернутого на кутя/2 проти годин-

• ірілки.

Вихідна АФХ ро-

і о і урахуванням кри- и-рію І Іайквіста можім стверджувати, що ммгнута система в ньому випадку буде

ІІСС І ііі к о ю .

Розглянемо по- И« І піку тієї ж системи після введення

І Ю С ' І І Д О В Н О Ї коректу-

ім'їьної ланки. На рисунку показано дві

іочки характеристи-

іи ( коректованої ро-

• і Пікою, а також змінювати величину запасу стійкості та інші динамічні характеристики САР.

239