Teoriya avtomatichnogo keruvannya

СТІЙКІСТЬ НЕПЕРЕРВНИХ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Контрольні запитання та завдання

5.1

Загальні відомості про якість САК

Розв'язання завдання автоматичного керування об'єктом залежить не тільки від стійкості САК, а й т і піших показників, які в загальному випадку часто об'єднують

*піпим поняттям — якість системи керування, що характерно лише

іні стійких систем. Якість системи оцінюється багатьма показникаіи, серед яких основними є: характер (вигляд) перехідного процесу,

ірпі'ллість перехідного процесу, перерегулювання, точність (похиб- і .о системи в усталеному режимі.

Ча характером перехідні процеси поділяють на монотонні, коли- г г і м н й аперіодичні з перерегулюванням.

Монотонними називають перехідні процеси, при яких відхилення і"• і ульованої величини х від усталеного значення х0 плавно зменшу-

сіх

і 11 .ся, без зміни знака похідної — (рис 5.1, а, криві 1 і 2). Окремим

сії

ппплдком монотонного процесу є аперіодичний.

Коливальними називають перехідні процеси, при яких у системі п пуіоть гармонічні коливання з деяким періодом Ті амплітудою, що їй>с іупово зменшується (рис. 5.1, б).

Іперіодичними процесами з перерегулюванням н а з и в а ю т ь перехідні

процеси, за яких керована величина набуває усталеного значення ин ля одного, двох або більше коливань з різними періодами (неперимпчпі процеси) за наявності перерегулювання (рис. 5.1, в, криві 1 і 2).

11 ід перерегулюванням розуміють максимальне відхилення керованпі величини в бік, протилежний початковому відхиленню від уста- и'ііого значення.

241

X ,

ОО

цьому слід мати на увазі, що кривій 2 відповідають два екстремуми відхилень 5 ' > 5 " від заданого значення. Якщо в процесі регулювання значення регульованої величини залишається лише в одній зоні (зверху або знизу від усталеного значення), то перерегулювання відсутнє (крива 3) і перехідний процес такого вигляду вважають монотонним.

Тривалість (швидкодія) практично визначається часом ги, за який відхилення Ах від заданого значення (рис 5.1, б) стане меншим за деяку достатньо малу величину в (теоретично тривалість перехідного процесу іп - оо). Величина в визначається вимогами до точності конкретної системи (процесу) і може дорівнювати від частки процента до 2...5 % і більше (для «грубих» систем).

242

5.1.Загальні відомості про якість САК

Ншчплення (похибка) Ах, яке виникає після закінчення перехіднпіп процесу, називають статичною помилкою (похибкою), а відхи- н'іііін деякого значення регульованої величини у відповідний мо- і мі часу перехідного процесу від величини х0 — динамічною похиб- мі/п А\(/).

('тупінь затухання перехідного процесу \|/ є показником, що ха- і' п ісризує коливальні процеси. Її визначають за формулою

л

\|/(%)= ЮО

Чим більше значення \|/, тим швидше затухає перехідний процес.

Іноді для оцінки коливальних процесів використовують показ- ній якості, який називають логарифмічним декрементом затухання. Пін визначається як натуральний логарифм відношення амплітуд одиию знака двох послідовних періодів (рис. 5.1, б):

сі = 1 п ^ . X,

Чим більшою є величина сі, тим швидше затухає перехідний процес. ()скільки межею стійкості в площині коренів є уявна вісь, на якій

Н і а і ь нульові й суто уявні корені, то чим ближче до уявної осі зна- 1»іяться корені, тим менший запас стійкості має система. Для оцін- і н величини запасу стійкості використовують показник — ступінь

. пііикості, який визначається відстанню найближчого до уявної осі

• тісного кореня або абсолютним значенням дійсної складової комігісксного кореня.

('тупінь коливальності — показник, який визначається частотою в іасппх коливань системи, що залежить від конструктивних особлипмснчі об'єкта і системи керування в цілому. Як зазначалося рані-

•їм*, наявність комплексних коренів у характеристичному рівнянні

мм к 11 у тої системи зумовлює наявність складової коливального ха-

рак і еру в розв'язку рівняння вигляду

2п

Період коливань Т = —, число коливань за секунду V = р/2л.

243

Відношення уявної частини комплексного кореня до його дійс-

ної частини [І називають коливальністю перехідного процесу. Ч и м

більша величина ц, тим більше коливань в одиницю часу матиме дана система.

Ширина смуги пропускання — це показник якості САК у разі використання частотних характеристик, який визначається інтервалом частот, за яких амплітуда синусоїдального вхідного сигналу розімкнутої системи становить менше ЗО %.

На логарифмічних амплітудно-частотних характеристиках смуга пропускання частот визначається частотами, для яких амплітуда більша за 3 дБ. Ширина смуги пропускання частот характеризує швидкодію системи і її фільтрувальні властивості.

Якість системи автоматичного керування насамперед визначається технологічними особливостями об'єкта. Так, у різних підйомних машинах, прокатних станах та в інших установках значної потужності, які мають великі моменти інерції, необхідною вимогою є забезпечення перехідного процесу, близького до аперіодичного з перерегулюванням не більш як 2...З %. Виконання цієї вимоги призводить до збільшення тривалості перехідного процесу ґП.

Водночас у малоінерційних системах (обчислювальних, слідкуючих), де пріоритетним є вимога швидкодії системи (при заданій точності), бажано мати швидкозатухаючий коливальний процес.

5.2

АослідЖення якості на основі рівняння незбурених коливань

Дослідження якості САК може виконуватись на основі розв'язання рівнянь замкнутої системи, а та-

кож за допомогою наближених методів оцінки якості. Найзагальнішим методом є дослідження якості на основі розв'я-

зання рівняння замкнутої системи. Як приклад розглянемо рівняння системи стабілізації

[Р(Р)+0(Р)]Х = Р1(Р)$(Р)ПР),

244

Ь. 2. Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

• • • шсін відповідних перетворень можна записати у вигляді

І.міс рівняння є диференціальним лінійним неоднорідним рівня пням // го порядку. Згідно з принципом суперпозиції його розв'я- н можна подати як алгебричну суму загального хпер і часткового х0

Імі иГязків:

Х ~ Х п е р + '

Загальний розв'язок можна дістати на основі рівняння вільного

ІИІДКН

рівняння набуває вигляду

ЯЛ = ЬтР,

ни т к и

ІІобудована, як приклад, характеристика х = /(/) (рис 5.2) є кри- тий процесу регулювання в замкнутій системі, яка визначається з

рІВІІОС гі

245

ІМЕТОДИ ЇХ ОЦІНКИ

Звикладеного вище можна зробити висновок, що тривалість пе-

рехідного процесу ґп та інші показники якості визначаються загальним розв'язком вихідного рівняння хпер і залежать тільки від коренів характеристичного рівняння. Частковий розв'язок впливає лише на загальне значення регульованої величини і на величину помилок (похибок) системи. Тому при дослідженні якості САК на основі рівняння замкнутої системи часто обмежуються тільки аналізом вели-

чини хпер — вивчають поведінку системи залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.

Аналіз яНості САР на основі розв'язання рівняння незбу-

рених Поливань. Як приклад розглянемо систему другого порядку, рівняння незбурених коливань якої

246

Ь. 2. Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

II онсраторній формі воно записується так:

(а0р2 +а1р + а2)хпер = 0. Розв'язок цього рівняння

І і системи рівнянь (5.4)

С , = х п е р ( 0 ) - С 2 .

І Іідс гавляючи дане значення у вираз %пЄр(0), дістаємо

247

ба пам'ятати, що стійкість лінійних САР залежить лише від коренів характеристичного рівняння, які своєю чергою залежать від значень параметрів ланок системи.)

А{і), В(І). При цьому слід мати на увазі, що корені характеристичного рівняння матимуть вигляд

Розглянемо окремі можливі випадки у разі дійсних від'ємних коренів р{ < 0; р2 < 0.

Нехай початкові умови будуть додатними: хп е р (0)> 0; хг'1ер(0)> 0. Оскільки | р21 > | р{ |, то чисельник і знаменнику виразі А більше нуля, а у виразі В чисельник менше нуля, а знаменник — більше нуля. Початкові значення \А(0)\ > | 5(0)|.

Відповідні залежності А(ї) і В(І) показано на рис. 5.3, а, а результуюча величина хпер = /!(/)+ В(І)— на рис. 5.3, Б. Із побудованого графіка видно, що хпер тах = (<а - Ь) > х(0). Отже, у цьому випадку в системі виникає перерегулювання.

Знайдемо екстремум функції хмер (/)з умови

248

Ь. 2. Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

иГю

{ логарифмувавши це рівняння, дістанемо значення часу ї т , яке т-ніонідас екстремуму функції хп е р (0:

,(/), знайдемо його екстремальне значення хп е р т а х (1т ).

І Ісхап хік>р(0) > 0, а х^ер(0)= 0. З аналізу величин А(1) і £(/) випливи , що в цьому разі А(1) = 0; £(/) < 0. Оскільки |р21 > |р{ |, то зникнен-

249