Teoriya avtomatichnogo keruvannya
.pdfГ л а в а 3 |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
Так, для типового елемента — аперіодичної ланки першого порядку
(Тр + \)хаііХ |
= кхах, |
Р(р)=Тр+\; |
0(р) = к. |
Для інтегрувального елемента
Р(р)= 1, |
0(р) = к±. |
|
Р |
Передаточні функції в ТАК мають значне поширення і використовуються для:
•відображення динамічних властивостей ланок (систем) на основі структурних схем;
•знаходження вихідних виразів для побудови частотних характеристик, на яких базуються різні методи дослідження ланок і систем автоматичного керування;
•застосування як математичного апарату, зручного для спрощення структурних схем.
3.4
Передаточні функції та частотні характеристики типових ланок. Приклади побудови. Загальні відомості про частотні характеристики
Основною частотною характеристикою є сімплітуд-
но-фсізовсі характеристика (АФЧХ або АФХ). Її
можна дістати д в о м а способами: графоаналітичним і експериментальним.
Для побудови АФХ графоаналітичним методом у вираз відповідної передаточної функції підставляють р- уоо, де у = 7-Т; оо — частота, що може змінюватись від 0 до оо або в деяких випадках від - ©о до
У загальному випадку АФХ має вигляд
90
3.4. Передаточні функції та частотні характеристики типових ланок. Приклади побудови. Загальні відомості про частотні характеристики
тм= Р(М |
|
ОСДо) |
(3.33) |
|
|
Оскільки Ж(усо) — комплексна величина, то її можна записати, |
|
виділяючи дійсну 1/(со)та уявну К(ш) частини: |
|
IV (М = г/(ю) + уК(со), |
(3.34) |
де £/(со), К(ш) — відповідно дійсна і уявна частотні характеристики. У комплексній площині, якщо відомі вирази £/(оо) і К(ш), можна
побудувати відповідні характеристики (рис. 3.10).
Характеристику Л(ш) = л/[і7(ш)]2 + [ К(ш)]2 називають амплітудно-
частотною характеристикою, а залежність ср(со) = агсі£^—^ — фсізо- II (со)
частотною.
Всі частотні характеристики можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі. У цьому випадку їх називають логарифмічними ча-
стотними характеристиками.
|
Приклад графоаналітичної побддови частотних харак- |
||||||||||||||
теристик. |
Побудуємо |
частотні |
характеристики для |
аперіодичної |
|||||||||||
ланки першого порядку з передаточною функцією \У{р) |
= |
к |
і ам- |
||||||||||||
Тр+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
плітудно-фазовою характеристикою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ліквідуючи уявну |
ве- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
І |
|
|
|
|
|
Ц со) |
||||||
личину у |
знаменнику, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И^(усо) = |
к{\ - 7/со) |
|
|
Цсо,) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 + Т2 со2 |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
Ш1 |
|
|
|
|
||
к |
|
|
|
|
|
Vу |
|
|
|
|
|
||||
к 7ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
і + Г2ш2 |
- У 1 + Г2ю2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
уМ®) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дійсна і уявна часто- |
|
Рис. 3.70 |
|
|
|
|
|||||||||
т і характеристики |
ма- |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 7/ш+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ють вигляд |
|
|
к |
|
|
|
кШ |
|
|
|
|
|
|
||
|
£/(со) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 + Г2ш2 ; |
К(со) = - |
1 + Г2ш2 |
' |
|
|
|
|
|
||||||
91
Глава З |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
Амплітудно-частотна характеристика записується у вигляді |
|
|
||||||||||||
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(ш) • |
к' |
|
|
(кТш)1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + Гсо2 )2 |
(1 + Г2о>2)2 |
VI + Г2со2 |
' |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
а фазочастотна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кТю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф(со) = агсі£ У((о)' |
агс(£ |
1 + Гсо2 |
|
- агсі§ [7со]. |
|
|
||||||||
|
(/(а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + Т2 со2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задаючи со, обчислимо відповідні значення ^У(со) і У(со), які наве- |
||||||||||||||
дено в табл. 3.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3.1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
і / ( а > ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
к |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
/ 7 і |
|
|
Іс/2 |
|
-к/ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
И/(усо) |
|
|
АФХ |
типової |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
аперіодичної ланки |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
першого |
порядку є |
||||||
|
со - |
1/7" |
|
|
|
|
півколо у четверто- |
|||||||
|
Рис. 3.11 |
|
|
|
|
|
му |
квадранті |
ком- |
|||||
|
|
|
|
|
|
плексної площини |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.11). |
|
|
|||||
Частотні характеристики |
і/(со), Л(со), |
ф(со) |
побудовано |
на |
||||||||||
рис. 3.12, а—г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Експериментальний метод побддови амплітддно-фа- |
||||||||||||||
зової частотної характеристики ланки (системи). Щоб |
|
побудувати |
||||||||||||
амплітудно-фазову характеристику, треба мати елемент (систему) в натуральному вигляді або його модель. Крім того, потрібні генератор змінної частоти та прилади для вимірювання амплітуди і фази вихідної величини.
Для побудови характеристики на вхід елемента подаються коливання / = я 8ІПС0/. При цьому на виході дістають коливання Р - А 8ІП (соІ + ф).
92
3.4. Передаточні функції та частотні характеристики типових ланок. Приклади побудови. Загальні відомості про частотні характеристики
6/(со)
Цсо)
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
При а = 1 |
Р |
Лр'и"'+ 1(1 > |
|
|
|
|
Ае*. |
||
= - = |
з № |
= |
||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Результати вимірювань при різних частотах наведено в табл. 3.2.
|
|
Таблиця 3.2 |
со, |
А |
Фі |
со2 |
л2 |
ф2 |
Ч |
А |
ф |
|
|
л |
Заданими таблиці неважко побудувати амплітудно-фазову характеристику, на основі якої можна дістати й інші частотні характеристики.
Розглянемо тепер передаточні функції та частотні характеристики інших типових ланок.
Безінерційна ланка. Рівняння цієї ланки має вигляд хцих = кхах: пе-
редаточна функція |
Ж(р) = /с; амплітудно-фазова |
характеристика |
IVисо) = к, яка є точкою, що лежить на дійсній осі комплексної пло- |
||
щини. |
|
|
Аперіодична ланка |
першого порядку. Д л я цієї л а н к и |
р і в н я н н я , пе- |
редаточну функцію та амплітудно-фазову частотну характеристику наведено в п. 3.1.
93
Глава З |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
||||
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
|||
Ланка другого порядку. Передаточна функція ланки |
|||||
|
і г ( р ) = |
' т Г 2 к т |
|
|
|
|
Т{р |
|
+Т2р+\ |
|
|
а амплітудно-фазова характеристика |
|
||||
|
к(\ - |
7;2ш2 -уТ2со) |
|
||
^ |
0 ) = (-Т2со2 + Г2усо + 1)(1 - 7|2со2 Л |
» |
|||
де |
= £/( со) + уГ(со), |
|
|||
/с(1 - Г,2со2) |
|
|
со |
||
1/(0)) = |
|
-кТ2 |
|||
(1 - Г,2со2 )2 +7;2со2 |
К(ш) = (1-Ггсо2 )2 +Г22СО2' |
||||
Значення £/(со) і К(со) при відповідних со наведено в табл. 3.3, на основі якої на рис. 3.13 побудована АФХ елемента другого порядку, що розміщується в третьому і четвертому квадрантах комплексної
площини.
|
|
Таблиця 3.3 |
со |
и( о)) |
У( со) |
0 |
/с |
0 |
і /Т |
0 |
-кТ\ /Т2 |
ОО |
0 |
0 |
|
|
|
Інтегрувальна ідеальна ланка. Д л я цієї
р |
з 7 , |
ланки |
IV(/;) |
= |
к -; И^усо) = |
к — ^ = -} -, |
|
гис. .з.і ^ |
|
|
|
р |
^ |
ш |
|
|
|
тобто |
АФХ |
є |
прямою, що |
збігається |
з |
від'ємною уявною віссю а (рис. 3.14). При со—> 0 АФХ ^(усо)-^ - оо.
Диференціювальна ідеальна ланка. Д л я неї \¥{р) - кр, Ж (До) = /дсо,
тобто АФХ збігається з уявною віссю б, але направленою в додатному напрямку (див. рис. 3.14).
Крім рівнянь, передаточних функцій і відповідних частотних характеристик ідеальних диференціювальних та інтегрувальних ланок, у теорії автоматичного керування виділяють також інерційні диференціювальні та інтегрувальні ланки, які розглядатимуться при побудові відповідних логарифмічних характеристик.
94
3.5. Рівняння динаміки, передаточні функції і |
амплітудно-фазові частотні |
||
характеристики |
груп ланок при різному їх з'єднанні |
||
Ланки з чистим запізненням. У загально- |
/У(со) - |
||
му вигляді |
|
И/(усо) |
|
йУ(р) = Ісе~,п; Ж(усо) = ке']шх. (3.35) |
б |
||
Амплітудно-частотна |
характеристика |
со = + < |
|
ланки |
|
|
|
А( со) = к = сопзі, |
И ^ ) а |
||
а фазочастотна — |
|
со —> 0 |
|
фСО = — сот. |
|||
|
|||
Згідно з (3.35) амплітудно-фазова хара- |
Рис. 3.14 |
||
ктеристика ланки із запізненням є колом |
|
||
радіуса к, що періодично повторюється. |
|
||
Амплітудно-частотна |
характеристика А{м) = к є радіусом-векто- |
||
ром, що обертається за годинниковою стрілкою. |
|||
3.5
Рівняння динаміки, |
передаточні |
функції |
і амплітудно-фазові |
частотні |
характеристики |
груп ланок при різному їх з'єднанні
Послідовне з'єднання ланок. При послідовному з'єднанні ланок вихідна величина кожної попередньої ланки подається на вхід наступної і, згідно з цим, рівняння динаміки групи послідовно з'єднаних ланок має дати залежність вихідної величини останньої ланки від вхідної першої.
Запишемо рівняння динаміки окремих елементів:
• першого елемента
Р\(Р)Х івих =(?і(Р)*1к;
а (р)1
• другого елемента з урахуванням того, що х1вих = — —х1 вх =
Р\ (Р)
= Х2ах '
Р2(Р)Х2вт=02(р)^ХІШ,
95
Г л а в а 3 |
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
||||
|
АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ |
|
|
|
|
|
• п-го |
елемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р п Ш п ш а = С?„0») - , . р , . |
р |
, , * 1 в х - |
( 3 - 3 6 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Позначивши
Р1(Р)Р2(Р)...РП(Р)= Р(р)\
01(р)02(р)...0п(р) = 0(р),
дістанемо рівняння п послідовно з'єднаних ланок у вигляді
Пр)хпит=0(р)х]т. (3.37)
Передаточна функція п послідовно з'єднаних ланок з урахуванням залежності (3.36)
IV |
(о) = ^ - Ш - ОіО>)б2(/>)-бл(і) |
|
||
|
Х1ИХ |
Р(р) |
Р](р)Р1(р)...Р„(р) |
|
або |
|
|
|
|
|
И ' і -„(Р) = |
IV, (РЖ2(р)... К(р)- |
( 3 - 3 8 ) |
|
Амплітудно-фазова характеристика послідовно з'єднаних п |
||||
ланок |
|
|
|
|
|
- п(М = |
|
(М • •. |
(3.39) |
Якщо відомі АФХ окремих ланок (наприклад, знайдені експериментально), то характеристику послідовно з'єднаних ланок можна побудувати графічно.
Наприклад, для двох ланок, амплітудно-фазові характеристики яких
ЦГх<М = Ахе*\
Ж20Ь) = А2е*9
результуюча характеристика при їхньому послідовному з'єднанні матиме вигляд
де А | _ 2 = А | А 2 •
96
3.5. Рівняння динаміки, передаточні функції і амплітудно-фазові частотні характеристики груп ланок при різному їх з 'єднанні
АФХ окремих ланок і графічну побудову результуючої АФХ ланок показано на рис. 3.15, а—в.
/У(со), |
|
|
уУ(со) |
уУ(ш) |
|
|
|
|
|
І 0 |
\ Л 1 |
]и(^ |
ф 2 А и{<») 0 |
|
|
/ |
щ м |
|
|
|
^01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.15
Паралельне з'єднання ланок. Нагадаємо, що при паралельному з'єднанні ланок їхні вхідні величини однакові:
*вх — |
вх |
* 2 в х |
вх , |
а вихідна величина є сумою вихідних величин ланок, що з'єднуються,
Розглянемо рівняння та передаточні функції при паралельному з'єднанні ланок на прикладі двох паралельно з'єднаних ланок з рівняннями динаміки вигляду
(/>)*і в»* |
=Оі(р)хш; |
|
|
Р2ІР)Х 2 вих = |
02(Р)Х2 ВХ- |
|
|
У цьому випадку |
(р)„ |
, 02 (Р)„ |
|
|
2 вх |
||
|
М вх |
+ • |
|
Ш |
|
Р2(Р) |
|
і рівняння динаміки |
|
|
(3.40) |
*„„* =[ИМР) |
+ ^2(р))хвх, |
||
звідки дістанемо передаточну функцію двох паралельно з'єднаних ланок:
\Ух(р)+]¥2(р). (3.4!)
4 Т е о р і я а в т о м а т и ч н о г о к е р у в а н н я |
97 |
Г л а в а 3 |
|
МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ |
|
—АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
АФХ для цих двох ланок
Ж, _ 2 (» = IV, ( » + И/2 (до). (3.42)
У загальному випадку при я з'єднаних ланках АФХ визначається як сума відповідних характеристик усіх ланок:
Рис. 3.1 Б |
+ |
|
Графічно результуюча АФХ буду- |
ється за правилами складання векторних величин (рис. 3.16). |
|
Ланка зі зворотним зв'язком. На рис. 3.17 показана ланка 7, охоплена зворотним зв'язком 33, а також відповідні вхідні
та вихідні величини. |
|
|
|
Рівняння динаміки ланки |
1 до охоплення її зворотним зв'язком |
||
|
Р\(Р)х івих = (?І ( / > ) * | вх- |
||
|
Рівняння самої ланки зворотного зв'яз- |
||
|
ку в загальному вигляді запишеться так: |
||
|
|
РзЛР)Хт =0ЗВ(Р)*1вих» |
|
|
звідки |
|
|
Рис. 3.17 |
|
х ш |
о / \ 1 |
Рівняння ланки з урахуванням зворотного зв'язку має вигляд |
|||
Р1 ( / > ) * 1 вих = |
( Ж * І вх |
± * з в ) = ( ? | (р) |
V І ВХ +- п / \ 1 вих |
Р-ЛР)
де знак «плюс» відповідає додатному, а «мінус» — від'ємному зворотному зв'язку.
Після нескладних перетворень дістанемо
[Рх(р)РмШОіШм(р)]х1т = 01(Р)Р.іЛР)Х ,вх-
Звідси можна дістати передаточну функцію ланки, охопленої зворотним зв'язком:
98
3.6. Логарифмічні частотні характеристики
|
* і „ „ х |
|
ОАрЖЛр) |
|
|
|
|
Рі(Жп(р) |
+ |
01(р)0м(р) |
|
І Іоділивши чисельник і знаменник на Р1 (/;)/',„(/;), матимемо |
|||||
|
IV,'" (р)^ |
IV |
(П) |
, |
(3.43) |
|
|
|
|||
де XVх (р) — передаточна функція самої ланки без урахування зворот- |
|||||
ного зв'язку; |
(р) — передаточна функція ланки зворотного зв'яз- |
||||
ку. Знак «мінус» у даному разі відповідає додатному, а «плюс» — від'ємному зворотному зв'язку.
Відповідний вигляд матиме АФХ ланки зі зворотним зв'язком:
Ж,313 О) = 1 + ^ 0 ) ^ 0 ). |
(3.44) |
3.6
Логарифмічні частотні характеристики
Усі розглянуті вище частотні характеристики окремих ланок і відповідних груп ланок можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі. В цьому випадку їх назива-
ють логарифмічними характеристиками', логарифмічною амплітуд-
но-частотною га логарифмічною фазочастотною.
При побудові логарифмічних характеристик по вертикальній осі відкладають логарифм відповідної величини в децибелах (логарифмічна величина «непер» вважається дуже великою).
Нагадаємо, що для знаходження відповідної величини в децибелах її десятковий логарифм слід помножити на 20.
Так, амплітудно-частотна характеристика в децибелах матиме вигляд
Цо>)= 20М(оо).
По горизонтальній осі частоти відкладають також у логарифмічному масштабі — в октавах або декадах (але часто записують значення самої частоти со). Тому по горизонтальній осі масштаб буде перів
99